Question

Доведіть що різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 6 завжди дає в остачі 1

Answer 1

Відповідь:

На фото

Пояснення:

Answer 2

Для доведення того, що різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 6 завжди дає в остачі 1, ми можемо скористатися алгебраїчним підходом та властивостями ділення.

Припустимо, маємо два послідовних натуральних числа: n та (n+1). Тоді їх куби можна позначити як n^3 та (n+1)^3.

Різниця між ними буде: (n+1)^3 - n^3

Застосуємо формулу для різниці кубів: (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Тоді наше вираження може бути переписане: (n+1)^3 - n^3 = [(n+1) - n][(n+1)^2 + (n+1)n + n^2]

Спростимо дуже виразу в дужках: (n+1)^2 + (n+1)n + n^2 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + n + n^2 = 3n^2 + 3n + 1

Тепер наше вираження має вигляд: [(n+1) - n][(n+1)^2 + (n+1)n + n^2] = (1)(3n^2 + 3n + 1) = 3n^2 + 3n + 1

Тепер давайте перевіримо, чи ділиться це число на 6 з остачею 1:

3n^2 + 3n + 1 = 1 (mod 6)

Ми можемо перевірити це за допомогою таблички ділення:

n | n^2 | 3n^2 | 3n^2 + 3n | 3n^2 + 3n + 1 (mod 6)

1 | 1 | 3 | 6 | 1 2 | 4 | 12 | 18 | 1 3 | 9 | 27 | 36 | 0 4 | 16 | 48 | 60 | 0 5 | 25 | 75 | 90 | 0 6 | 36 | 108 | 126 | 0

Як бачимо, для кожного значення n, вираз 3n^2 + 3n + 1 дає остачу 1 при діленні на 6. Це означає, що різниця кубів двох послідовних натуральних чисел завжди дає в остачі 1 при діленні на 6.