Question

Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за З часа, а назад — за 6 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Answer 1

Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х + 2) км/ч - скорость катера по течению реки, (х - 2) км/ч - скорость катера против течения реки. Уравнение:

(х - 2) · 6 = (х + 2) · 3

6х - 12 = 3х + 6

6х - 3х = 6 + 12

3х = 18

х = 18 : 3

х = 6

Ответ: 6 км/ч - собственная скорость катера.

Проверка:

(6 - 2) · 6 = (6 + 2) · 3

4 · 6 = 8 · 3 = 24 (км) - расстояние между пристанями

Answer 2

Пусть $V_k$ - это скорость катера в км/ч (собственная скорость катера), а $V_t$ - скорость течения в км/ч.

Когда катер движется по течению реки, его эффективная скорость будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $V_{\text{эфф}} = V_k + V_t.$

Когда катер движется против течения реки, его эффективная скорость будет равна разнице его собственной скорости и скорости течения: $V_{\text{эфф}} = V_k - V_t.$

Мы знаем, что катер прошел расстояние по течению за $З$ часов и расстояние против течения за $6$ часов.

Расстояние можно выразить как произведение скорости на время: $d = V \cdot t.$

Для движения по течению: $d_1 = (V_k + V_t) \cdot З.$

Для движения против течения: $d_2 = (V_k - V_t) \cdot 6.$

Из условия задачи мы также знаем, что $V_t = 2$ км/ч.

Теперь мы можем записать систему уравнений на основе этих данных:

d_1 &= (V_k + 2) \cdot З, \\ d_2 &= (V_k - 2) \cdot 6. \end{align*}\] Поскольку расстояния \(d_1\) и \(d_2\) одинаковы (в обоих случаях это расстояние между пристанями), мы можем прировнять их: \[(V_k + 2) \cdot З = (V_k - 2) \cdot 6.\] Раскроем скобки и решим уравнение: \[V_k \cdot З + 2З = V_k \cdot 6 - 12.\] Переносим все элементы с \(V_k\) на одну сторону: \[V_k \cdot З - V_k \cdot 6 = -2З - 12.\] Факторизуем \(V_k\): \[V_k \cdot (З - 6) = -2З - 12.\] Выразим \(V_k\): \[V_k = \frac{-2З - 12}{З - 6}.\] Теперь мы можем подставить значение \(З = 3\) (поскольку катер двигался по течению и против течения одинаковое расстояние) и рассчитать собственную скорость катера: \[V_k = \frac{-2 \cdot 3 - 12}{3 - 6} = \frac{-6 - 12}{-3} = \frac{18}{3} = 6.\] Собственная скорость катера \(V_k\) равна \(6\) км/ч.