Question

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке: a) у = х3 + 3 – х2 на отрезке [0; 3]. b) у = х3 + 6х2 – 4 на отрезке [ -1; 3 ]. c) у = 2х3 - 6х2 + 3 на отрезке [1; 3] 2. В прямоугольной комнате площадью 42 м2 требуется установить плинтусы по всему периметру. Стоимость 1 м плинтуса составляет 120 рублей. При каких целых линейных размерах комнаты затраты на покупку плинтуса будут наименьшими? 3. Необходимо изготовить открытый резервуар цилиндрической формы, объем которого равен 64π дм3. При каких размерах резервуара (радиусу основания и высоте) на его изготовление тратится наименьшее количество металла?

Answer 1

1. Чтобы найти точки минимума и максимума функции:

1) Находим производную, приравниваем ее к 0 и находим критические точки

2) Находим точки на концах отрезка

a) у = х³ + 3- х² на отрезке [0; 3]

y'=(х³ + 3- х²)'=3x²-2х=0

х=0   х=2/3

    +                        -                    +                    

_______0____________2/3_________

Обе точки входят в интервал [0;3]

y(0)=(0+3-0)=3

y(2/3)=(2/3)³+3-(2/3)²=8/27+3-4/9=2 23/27

y(3)=3³+3-3²=21

Наибольшее значение на отрезке [0;3]: 21

Наименьшее значение на отрезке [0;3]: 2  23/27

b) у = х³ + 6х² - 4 на отрезке [ -1; 3 ]

y'=(х³ + 6х² - 4)'=3x²+12x=3x(x+4)=0

       +                      -              +

________-4__________0________

-4 ∉ [-1; 3]

y(-1)=-1+6-4=1

y(0)=0+0-4=-4

y(3)=3³+6*3²-4=77

Наибольшее значение на отрезке [-1;3]: 77

Наименьшее значение на отрезке [-1;3]: 1

c) у = 2х³ - 6х² + 3 на отрезке [1; 3]

y'=(2х³ - 6х² + 3)'=6x²-12x=6x(x-2)=0

   +                         -                  +

________0_________2__________

0 ∉ [1; 3]

y(1)=2-6+3=-1

y(2)=2*2³-6*2²+3=16-24+3=-5

y(3)=2*3³-6*3²+3=3

Наибольшее значение на отрезке [1;3]: 3

Наименьшее значение на отрезке [1;3]: -5

2.

х м длина комнаты

42/х м - ширина комнаты

Р=2(х+42/х) периметр комнаты

120*2(х+42/х) затраты

Поскольку затраты минимальны, то найдем производную функции:

(240*(х+42/х))'=240(1-42/x²)

Приравняем произаодную к 0 и найдем критический точки:

240(1-42/х²)=0

(х²-42)/х²=0

     +                              -                      -                            +

___________-√42_________0___________√42______

Значит минимальным значением будет ширина √42 м, то есть при квадратной комнате.

Поскольку нам надо найти целый значение, то макисмально приближенные целые значения 6 м *7 м.

Ответ 6 м* 7 м

3.

V=πR²h=64π объем цилиндра

h=64π/(πR²)=64/r²

S=πr²+2πrh=πr²+2πr*64/r²=πr²+128π/r  площадь открытого резервуар

Чтобы определить минимум найдем производную:

S'=(πr²+128π/r)'=2πr-128π/r²=2π(r²-64)/r²=2π(r-8)(r+8)/r²

    +                   -                      -                         +

_______-8__________0___________8_______

Наименьшее значение при r=8 дм

h=64/8²=1 дм

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции на указанных отрезках:

a) Функция: y = x^3 + 3 - x^2 на отрезке [0, 3]

Для нахождения экстремумов функции, найдем её производную и приравняем её к нулю:

y = x^3 + 3 - x^2 y' = 3x^2 - 2x

Теперь решим уравнение 3x^2 - 2x = 0:

3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2/3.

Проверим значения функции на границах отрезка [0, 3] и найденных критических точках:

y(0) = 0^3 + 3 - 0^2 = 3 y(3) = 3^3 + 3 - 3^2 = 21 y(2/3) = (2/3)^3 + 3 - (2/3)^2 ≈ 3.37

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0, 3] равно 3 (достигается в точке x = 0), а наибольшее значение равно 21 (достигается в точке x = 3).

b) Функция: y = x^3 + 6x^2 - 4 на отрезке [-1, 3]

Производная функции y = x^3 + 6x^2 - 4:

y' = 3x^2 + 12x

Теперь решим уравнение 3x^2 + 12x = 0:

3x(x + 4) = 0

Получаем два значения x: x = 0 и x = -4. Однако, только x = -4 находится в интервале [-1, 3], поэтому будем проверять только его:

y(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 - 4 = -100

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1, 3] равно -100 (достигается в точке x = -4), а наибольшее значение равно:

y(3) = 3^3 + 6(3)^2 - 4 = 59

c) Функция: y = 2x^3 - 6x^2 + 3 на отрезке [1, 3]

Производная функции y = 2x^3 - 6x^2 + 3:

y' = 6x^2 - 12x

Теперь решим уравнение 6x^2 - 12x = 0:

6x(x - 2) = 0

Получаем два значения x: x = 0 и x = 2. Однако, только x = 2 находится в интервале [1, 3], поэтому будем проверять только его:

y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 3 = -7

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1, 3] равно -7 (достигается в точке x = 2), а наибольшее значение равно:

y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 + 3 = 15

2. Теперь решим задачу о затратах на плинтусы:

Пусть L и W - длина и ширина комнаты соответственно (в метрах). Тогда периметр комнаты равен: P = 2(L + W).

Площадь комнаты: S = L * W = 42 м².

Выразим L из площади: L = 42 / W.

Теперь выразим периметр P через W: P = 2(L + W) = 2(42 / W + W) = 84 / W + 2W.

Стоимость плинтуса за единицу длины: C = 120 рублей / метр.

Затраты на плинтусы: T = C * P = 120 * (84 / W + 2W).

Теперь найдем минимум затрат, взяв производную от T по W и приравняв её к нулю:

dT/dW = -120 * (84 / W^2 - 2) = 0

84 / W^2 - 2 = 0

84 / W^2 = 2

W^2 = 84 / 2

W^2 = 42

W = √42 ≈ 6.48 м

Таким образом, ширина комнаты должна быть примерно 6.48 метра. Тогда длина комнаты равна:

L = 42 / W = 42 / 6.48 ≈ 6.48 м

Наименьшие затраты на плинтусы будут при размерах комнаты 6.48 м x 6.48 м.

3. Найдем размеры цилиндрического резервуара с наименьшим количеством металла:

Объем цилиндра V = π * r^2 * h.

Требуется найти r и h такие, что V = 64π дм³ = 64 * 1000 см³.

Также нужно учесть, что площадь металла, используемого для изготовления резервуара, равна S = 2πrh + 2πr^2.

Выразим h из V:

h = V / (π * r^2).

Теперь выразим S через r:

S = 2πr(V / (π * r