Question

СРОЧНООООО!!!! Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=√х-1, х=0,у=0,х=4

Answer 1

Ответ: S=2 кв.ед.

Объяснение:

y=√x-1    y=0    x=0     x=4

√x-1=0

√x=1

(√x)²=1²

x=1    ⇒

S=S₁+S₂

S₁=₀∫¹(0-(√x-1))dx=-(2/3)*x³/²+x=-(2/3)*1³/²+1=-(2/3)+1=1/3.

S₂=₁∫⁴(√x-1)dx=(2/3)*x³/²-x ₁|⁴=(2/3)*4³/²-4-((2/3)*1³/²-1)=

=(2/3)*8-4-((2/3-1)=(16/3)-4-(-1/3)=(16/3)-4+(1/3)=(17/3)-4=5²/₃-4=1²/₃.

S=¹/₃+1²/₃=2.

Answer 2

Хорошо, давайте найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у=√(х-1), х=0, у=0 и х=4.

Сначала нарисуем график функции у=√(х-1) и отметим точки пересечения с осями:

1. Построим график у=√(х-1):

Для этого, сначала посмотрим, при каких значениях x функция равна нулю: у=0 → √(х-1)=0 → х-1=0 → х=1

Таким образом, точка пересечения с осью x равна (1, 0).

Затем, найдем точку пересечения с осью y (когда х=0): у=√(0-1) → у=√(-1) → здесь выражение под корнем отрицательно, поэтому вещественных корней нет.

Теперь, проведем график функции у=√(х-1) с учетом найденных точек:

markdownCopy code
       ^
       |
   2   |     .
       |      .
   1   |       .
       |        . 
   0   |__________._________>
       0   1   2   3   4

2. Теперь нарисуем прямоугольник, ограниченный линиями x=0 и x=4:

markdownCopy code
       ^
       |
   2   |     .  .  .  .  .
       |      
   1   |     .  .  .  .  .
       |      
   0   |______.__._________>
       0   1   2   3   4

3. Найдем точку пересечения графика у=√(х-1) с линией x=4:

у=√(4-1) → у=√(3) → у≈1.732

Теперь наша фигура выглядит так:

markdownCopy code
       ^
       |
   2   |     .  .  .  .  .
       |     .  
   1   |     .  .  .  .  .
       |      .  * 
   0   |______.__._________>
       0   1   2   3   4

4. Найдем площадь фигуры под кривой у=√(х-1) от x=1 до x=4:

Площадь = ∫(от 1 до 4) √(х-1) dx

Для нахождения интеграла, найдем первообразную функции √(х-1):

∫√(х-1) dx = (2/3) * (х-1)^(3/2) + C

Теперь найдем значение определенного интеграла:

Площадь = [(2/3) * (х-1)^(3/2)] (от 1 до 4) Площадь = [(2/3) * (4-1)^(3/2)] - [(2/3) * (1-1)^(3/2)] Площадь = [(2/3) * 3^(3/2)] - [(2/3) * 0] Площадь ≈ 2.828

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=√(х-1), х=0, у=0 и х=4, составляет около 2.828 квадратных единиц.