Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) = (4х – 3)^5 в точке пересечения графика функции с прямой у = – 1.

Answer 1

Ответ:

у=781,25х-391,625

Объяснение:

1) Найдем точку пересечения графика f(х) = (4х – 3)⁵  с прямой у=– 1.

(4х-3)⁵=-1

4х-3=⁵√(-1)

4х-3=-1

4х=2

х=1/2

Значит координаты точки:

(1/2; -1)

2) Уравнение касательной имеет  y=kx+b, где k угловой коэффициент равный производной в точке.

k=f'(x₀)

f'(x)=((4х – 3)⁵)'=5*(x-3)⁴*(4x)'=5*4*(x-3)⁴=20(x-3)⁴

f'(-1)=20*(1/2-3)⁴=20*(-2,5)⁴=781,25

-1=781.25*1/2+b

b=389,625 ⇒

у=781,25х-391,625

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции $f(x) = (4x - 3)^5$ в точке пересечения с прямой $y = -1$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем точку пересечения $x_0$ между графиком функции $f(x)$ и прямой $y = -1$.

2. Найдем значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$. Это значение будет являться угловым коэффициентом касательной к графику функции в данной точке.

3. Используем найденные значения для составления уравнения касательной.

4. Найдем точку пересечения $x_0$: Для этого приравняем $f(x)$ к -1 и решим уравнение: $(4x_0 - 3)^5 = -1$.

5. Найдем значение производной $f'(x)$ в точке $x_0$:

$$f(x) = (4x - 3)^5$$

Используем правило дифференцирования степенной функции $u^n$ для нахождения производной:

$$f'(x) = 5(4x - 3)^4 \cdot 4 = 20(4x - 3)^4.$$

Теперь найдем $f'(x_0)$, подставив $x_0$ в производную:

$$f'(x_0) = 20(4x_0 - 3)^4.$$

3. Теперь мы имеем $x_0$ и $f'(x_0)$, и можем составить уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет следующий вид:

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$

Подставляем значения:

$$y = 20(4x_0 - 3)^4 \cdot (x - x_0) + (4x_0 - 3)^5.$$

Теперь мы получили уравнение касательной к графику функции $f(x) = (4x - 3)^5$ в точке пересечения с прямой $y = -1$.