Question

Log₀,₅(x+8)>log₀,₅(x-3)+log₀,₅(3x) мне нужно поэтапное решение и ответ

Answer 1

.....................

Answer 2

ОТВЕТ ВО ВЛОЖЕНИИИИИИИ

Answer 3

Давайте решим это поэтапно. Начнем с данного уравнения:

$\log_{0,5}(x+8) > \log_{0,5}(x-3) + \log_{0,5}(3x)$

Шаг 1: Применим свойство логарифма, согласно которому $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$:

$\log_{0,5}(x+8) > \log_{0,5}((x-3) \cdot 3x)$

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения:

$\log_{0,5}(x+8) > \log_{0,5}(3x^2 - 9x)$

Шаг 3: Применим свойство логарифма $\log_a(b) > \log_a(c)$ равносильно $b > c$, при условии что $a > 1$:

$x + 8 > 3x^2 - 9x$

Шаг 4: Перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$3x^2 - 10x - 8 < 0$

Шаг 5: Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 10x - 8 = 0$:

Используя квадратное уравнение, мы получаем два корня: $x_1 \approx -1.21$ и $x_2 \approx 2.87$.

Шаг 6: Построим знаковую таблицу. Для этого выберем тестовые точки в каждом из трех интервалов, определенных корнями: $(-\infty, -1.21)$, $(-1.21, 2.87)$ и $(2.87, \infty)$.

Выберем, например, $x = 0$ для первого интервала, $x = 1$ для второго и $x = 3$ для третьего.

Подставим значения в $3x^2 - 10x - 8$ и определим знак на каждом интервале:

• Для $x = 0$: $3 \cdot 0^2 - 10 \cdot 0 - 8 = -8$, знак: отрицательный.
• Для $x = 1$: $3 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 - 8 = -15$, знак: отрицательный.
• Для $x = 3$: $3 \cdot 3^2 - 10 \cdot 3 - 8 = 1$, знак: положительный.

Таким образом, знаки на интервалах: $(-\infty, -1.21)$ - отрицательный, $(-1.21, 2.87)$ - отрицательный, $(2.87, \infty)$ - положительный.

Шаг 7: Соберем информацию из знаковой таблицы и ответим на неравенство:

$3x^2 - 10x - 8 < 0$

Неравенство выполняется на интервалах $(-1.21, 2.87)$, что означает, что решением исходного неравенства $\log_{0,5}(x+8) > \log_{0,5}(3x^2 - 9x)$ является:

$-1.21 < x < 2.87$

Ответ: $-1.21 < x < 2.87$.