Question

Докажите, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: -16, -8, -4 ... ; 3, 2, 4/3, 8/9 ... ; 8, 6, 9/2, 27/8 ... ;

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы геометрическая прогрессия была бесконечно убывающей, знаменатель геометрической прогрессии $q$ должен быть либо меньше 0, но больше -1, либо больше 0, но меньше 1. В таком случае геометрическая прогрессия будет стремиться к 0, но никогда его не достигнет.

Графически это выглядит так: $-1 < q < 0$ или $0 < q < 1$.

Рассмотрим наши примеры:

1) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{-16} = \frac12$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac12 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

2) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{3}$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac23 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

3) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{8} = \frac34$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac34 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Answer 2

Для доказательства, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, нужно показать, что каждый следующий элемент прогрессии меньше предыдущего. Давайте рассмотрим каждую из предложенных последовательностей и докажем, что они бесконечно убывающие:

1. Последовательность: -16, -8, -4, ... Здесь видно, что каждый следующий элемент можно получить, поделив предыдущий элемент на 2. То есть: -16 / 2 = -8, -8 / 2 = -4, и так далее. Так как при делении на 2 результат уменьшается, то каждый следующий элемент будет меньше предыдущего, и эта последовательность является бесконечно убывающей.

2. Последовательность: 3, 2, 4/3, 8/9, ... В данной последовательности каждый следующий элемент можно получить, умножив предыдущий элемент на 2/3. То есть: 3 * 2/3 = 2, 2 * 2/3 = 4/3, 4/3 * 2/3 = 8/9, и так далее. Так как при умножении на 2/3 результат уменьшается, то каждый следующий элемент будет меньше предыдущего, и эта последовательность также является бесконечно убывающей.

3. Последовательность: 8, 6, 9/2, 27/8, ... Здесь каждый следующий элемент можно получить, поделив предыдущий элемент на 3/4. То есть: 8 / 3/4 = 6, 6 / 3/4 = 9/2, 9/2 / 3/4 = 27/8, и так далее. При делении на 3/4 результат уменьшается, следовательно, каждый следующий элемент будет меньше предыдущего, и эта последовательность также является бесконечно убывающей.

Таким образом, для всех трех предложенных последовательностей мы видим, что каждый следующий элемент меньше предыдущего, что доказывает, что они являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.