Question

1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15? 2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;… 3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1.

b₇=-30     b₆=15

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1 или -1<q<1.

q=b₇/b₆=-30/15=-2.    ⇒  Эта геометрическая прогрессия не является бесконечно убывающей.

2.

-25; -5; -1 ...    S=?

b₁=-25    b₂=-5

q=b₂/b₁=-5/(-25)=1/5=0,2.

S=b₁/(1-q)==25/(1-0,2)=-25/0,8

S=-31,25.

$3.\\ 0,(9)=\frac{9}{9} =\frac{1}{1}.$

Answer 2

1. модуль ее знаменатель равен 30/15=2, он больше  единицы, а должен быть меньше. Нет, не является бесконечно убывающей.

2. q=1/5;   b₁=-25; s=b₁/(1-q)=-25/(1-1/5)=-125/4=-31 1/4

3. 0.(9)=0.9+0.09+0.009+...

q=0.09/0.9=0.1

s=b₁/(1-q)=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1

Answer 3

1. Для проверки, является ли данная геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$

где $b_n$ - n-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии (значение, на которое умножается предыдущий член, чтобы получить следующий).

Известно, что $b_7 = -30$ и $b_6 = 15$. Мы можем использовать это, чтобы определить $b_1$ и $q$:

Для $n = 7$: $-30 = b_1 \cdot q^{(7-1)}$ $-30 = b_1 \cdot q^6$

Для $n = 6$: $15 = b_1 \cdot q^{(6-1)}$ $15 = b_1 \cdot q^5$

Разделим эти уравнения, чтобы избавиться от $b_1$: $\frac{-30}{15} = \frac{q^6}{q^5}$ $-2 = q$

Теперь, найдя $q$, мы можем найти $b_1$ из второго уравнения: $15 = b_1 \cdot (-2)^5$ $15 = -32b_1$ $b_1 = -\frac{15}{32}$

Таким образом, общий член геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = -\frac{15}{32} \cdot (-2)^{(n-1)}$

2. Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \frac{a}{1 - q}$

где $S$ - сумма, $a$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии.

В данной задаче, $a = -25$ и $q = -\frac{5}{25} = -\frac{1}{5}$.

Подставляем в формулу: $S = \frac{-25}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{-25}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{6}{5}} = -\frac{25 \cdot 5}{6} = -\frac{125}{6}$

3. Бесконечную десятичную периодическую дробь $0,(9)$ можно представить в виде обыкновенной дроби следующим образом:

Пусть $x = 0,(9)$. Тогда: $10x = 9,(9)$ $10x - x = 9,(9) - 0,(9)$ $9x = 9$ $x = 1$

Таким образом, $0,(9) = 1$, и данную дробь можно записать как обыкновенную дробь $\frac{1}{1}$.