Question

Дослідіть і побудуйте графік функції . f(x)=2x-x^2-3​

Answer 1

Ответ:

f(x)=2x-x^2-3

Область определения: х∈R

Область значений: f(x)∈(-∞;-2]

Максимум: (1;2)

Пересечение с осью координат: (0;-3)

Answer 2

Щоб дослідити та побудувати графік функції f(x) = 2x - x^2 - 3, спочатку визначимо основні характеристики цієї функції:

1. Домен: функція f(x) визначена для всіх дійсних значень x, оскільки не має обмежень у виразі 2x - x^2 - 3.

2. Область значень: для знаходження області значень досить перевірити, чи може функція досягнути якогось конкретного значення. Ця функція є параболою з негативним коефіцієнтом перед членом x^2, тому найбільше значення досягається при x = 0, а після цього функція буде спадати. Таким чином, область значень функції - від мінімального значення f(0) до плюс нескінченності. Мінімальне значення f(0) = 2 * 0 - 0^2 - 3 = -3, тому область значень є всі дійсні числа, менші або рівні -3.

3. Нульові точки: щоб знайти нульові точки функції, ставимо f(x) рівним нулю і розв'язуємо рівняння:

2x - x^2 - 3 = 0

Для знаходження коренів можна застосувати квадратне рівняння або просто зауважити, що це рівняння має два фактори:

(x - 3)(x + 1) = 0

Звідси маємо дві нульові точки: x = 3 та x = -1.

4. Точка перегину: щоб знайти точку перегину, досить знайти похідну функції і розв'язати рівняння f''(x) = 0:

f(x) = 2x - x^2 - 3 f'(x) = 2 - 2x f''(x) = -2

Так як f''(x) є константою (-2), то немає точок перегину.

Тепер, коли ми визначили основні характеристики функції, побудуємо її графік:

Для побудови графіка ми використовуємо домен, область значень, нульові точки та інші особливості функції. Таким чином, ми отримаємо наступний графік:

markdownCopy code
          |      *  
          |     *   
          |    *    
          |   *     
          |  *      
 _________|_*______ 
          |
         -1    3

На графіку видно, що функція є параболою, яка відкривається догори. Вона має вершину у точці (3, 0) і проходить через точку (-1, 0). Область значень функції обмежена зверху значенням 0 та не має верхньої межі. Функція також має нижню межу -3, досягаючи її при x = 0.

Нульові точки видно на графіку: x = -1 та x = 3, де графік перетинає вісь x.

Також, на графіку можна бачити, що немає точок перегину, оскільки парабола не змінює напрямку свого вигину.

Це наближений графік, аби показати загальну форму функції f(x) = 2x - x^2 - 3. Для більш точного графіка можна використати графічні програми або калькулятори з можливістю побудови графіків функцій.