Question

Найдите сумму первых членов пятидесяти членов арифметической прогрессии (an), если a15+a21+a30+a36=102

Answer 1

Ответ: 1275

Объяснение:

Имеем:

a15=a1+14d,

a21=a1+20d,

a30=a1+29d,

a36=a1+35d,

a15+a21+a30+a36=4a1+98d.

По условию задачи, эта сумма равна 102, следовательно, получаем уравнение

4a1+98d=102, или 2a+49d=51. 

С другой стороны, S50=(a1+a50)⋅50/2

и

a1+a50=2a1+49d. 

Тогда

S50=(2a1+49d)⋅50/2=25⋅51=1275.

Answer 2

Для нахождения суммы первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (a1 + a2 + ... + a50), нам необходимо знать формулу общего члена арифметической прогрессии и суммы n членов прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии выражается как:

an = a1 + (n - 1) * d,

где: an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, d - разность между соседними членами прогрессии (шаг).

Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается как:

Sn = (n/2) * (a1 + an).

Дано, что a15 + a21 + a30 + a36 = 102.

Для удобства вычислений, давайте найдем разность d:

a21 - a15 = (a1 + 20d) - (a1 + 14d) = 6d, a30 - a21 = (a1 + 29d) - (a1 + 20d) = 9d, a36 - a30 = (a1 + 35d) - (a1 + 29d) = 6d.

Таким образом, мы замечаем, что разность между этими четырьмя членами прогрессии одинаковая и равна 6d.

Далее, находим значения следующих членов:

a36 + 6d = a42, a42 + 6d = a48, a48 + 6d = a54.

Мы замечаем, что a54 будет последним (50-м) членом прогрессии, которого мы ищем.

Теперь у нас есть информация о нескольких членах прогрессии и их номерах:

a15 + a21 + a30 + a36 = 102.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

(a1 + 14d) + (a1 + 20d) + (a1 + 29d) + (a1 + 35d) = 102.

Упростим это уравнение:

4a1 + 98d = 102, a1 + 24.5d = 25.5.

Теперь, когда у нас есть значения a1 и d, мы можем найти сумму первых пятидесяти членов прогрессии:

S50 = (50/2) * (a1 + a54).

Значение a54 мы можем выразить через a1 и d:

a54 = a1 + (50 - 1) * d.

Теперь, вычислим a1 и d:

a1 + 24.5d = 25.5, a1 = 25.5 - 24.5d.

a54 = (25.5 - 24.5d) + 49 * d.

Теперь найдем S50:

S50 = (50/2) * [(25.5 - 24.5d) + (25.5 - 24.5d + 49 * d)].

S50 = 25 * (51 - 25d).

Теперь у нас нет конкретных значений для d, поэтому мы не можем вычислить точную сумму S50. Но если бы нам дали значение d, мы могли бы найти сумму первых пятидесяти членов прогрессии с помощью вышеуказанной формулы.