Question

Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа. n(n + 1)(n + 2) + (n + 1) = (n + 1)3

Answer 1

n(n + 1)(n + 2) + (n + 1) = (n + 1)^3

Объяснение:

Вычтем из правой части  (n+1)

(n + 1)^3-(n+1) =(n+1)*((n+1)^2-1)=(n+1)*(n^2+2n+1-1)=(n+1)*(n^2+2n)=

n*(n+1)*(n+2)

т.е. получим то же, что получится если вычесть (n+1) и из левой части.

Это и доказывает тождество.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим выражение:

n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)

Первым шагом мы применим распределение умножения к первому члену выражения:

n(n + 1)(n + 2) = n(n^2 + 2n + 1)

Теперь раскроем скобки:

n(n^2 + 2n + 1) = n^3 + 2n^2 + n

Теперь прибавим (n + 1) к полученному выражению:

n^3 + 2n^2 + n + (n + 1)

Сгруппируем слагаемые:

n^3 + (2n^2 + n) + 1

Мы замечаем, что (2n^2 + n) является дважды средним числом (n и n+1). Теперь заменим (2n^2 + n) на 2(n + 1)^2:

n^3 + 2(n + 1)^2 + 1

Теперь раскроем квадрат:

n^3 + 2(n^2 + 2n + 1) + 1

n^3 + 2n^2 + 4n + 2 + 1

Теперь факторизуем квадратный трёхчлен:

n^3 + 3n^2 + 3n + 1

Теперь заметим, что полученное выражение представляет собой куб среднего числа (n + 1)^3:

(n + 1)^3

Таким образом, мы доказали, что выражение n(n + 1)(n + 2) + (n + 1) равно (n + 1)^3.