Question

1Докажите, что если к произведению трех последовательных натураль- ных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.2. Для каких значений параметров k и m не имеет решения уравнение: а) (2k − 7)x =1− 3m; б) (3k+4)x=m^+1

Answer 1

1. Пускай среднее число n, тогда составим уравнение:

(n-1)*n*(n+1)+n=n((n-1)(n+1)+1)=n(n²-1+1)=n*n²=n³ - доказано.

 

2. а) Если k=3,5, то при любых значениях m, кроме m=⅓, уравнение не имеет решения.

Проверим:

k=3,5; m=⅓;

0x=1-1;

0x=0;

x∈R;

 

k=3,5; m=1;

0x=-2. - решений нет.

 

б) Если k=-⁴/₃, то при любых значениях m, уравнение не имеет решения.

Проверим:

k=-⁴/₃; m=1

0х=2. - решений нет, так как квадрат не может быть отрицательным, при значении 0х - решений нет.

Answer 2

1) Пусть одно из чисел n

Получается n(n+1)(n+2) + (n+1) = (n+1)(n в квадрате +2n +1) = (n+1) умножить на (n+1) в квадрате = (n+1)  в кубе

Answer 3

1. Пусть последовательные натуральные числа - a, a+1, a+2. Тогда произведение трех последовательных натуральных чисел будет: a(a+1)(a+2)

Среднее из трех чисел будет: (a + (a+1) + (a+2))/3 = (3a + 3)/3 = a + 1

Если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить их среднее, то получим: a(a+1)(a+2) + (a + 1) = a^3 + 3a^2 + 2a + a + 1 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1

Заметим, что это выражение равно (a+1)^3, т.е. кубу среднего числа.

Таким образом, мы доказали, что если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

2.

а) Рассмотрим уравнение (2k - 7)x = 1 - 3m.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при x был ненулевым, т.е. 2k - 7 ≠ 0.

Решим это неравенство относительно k: 2k ≠ 7 k ≠ 7/2

Таким образом, уравнение (2k - 7)x = 1 - 3m не имеет решения при k = 7/2.

б) Рассмотрим уравнение (3k + 4)x = m^2 + 1.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при x был ненулевым, т.е. 3k + 4 ≠ 0.

Решим это неравенство относительно k: 3k ≠ -4 k ≠ -4/3

Таким образом, уравнение (3k + 4)x = m^2 + 1 не имеет решения при k = -4/3.