Question

Сума перших чотирьох членіn reoметричної прогресії |дорівнює 240, а знаменник-3. Знайти 5 перших членів цієї прогресії. ​

Answer 1

Умова: $S_4=240, \qquad q=-3.$

Розв'язок.

$S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}\\S_4=\dfrac{b_1(1-(-3)^4)}{1-(-3)}=\dfrac{b_1(1-81)}{4}=-\dfrac{80}{4}b_1=-20b_1=240\\b_1=240:(-20)=-12\\b_2=b_1q=-12 \cdot (-3)=36\\b_3=b_2q=36 \cdot (-3)=-108\\b_4=b_3q=-108 \cdot (-3)=324\\b_5=b_4q=324 \cdot (-3)=-972$

Відповідь: –12, 36, –108, 324, –972.

Answer 2

Давайте позначимо перший член геометричної прогресії як "a" і знаменник (збільшення/зменшення кожного члена від попереднього) як "r". Також, зауважимо, що знаменник -3, тому r = -3.

Ми знаємо, що сума перших чотирьох членів становить 240:

a + ar + ar^2 + ar^3 = 240

Підставимо r = -3:

a + a(-3) + a(-3)^2 + a(-3)^3 = 240

Тепер знаходимо значення кожного доданка:

a - 3a + 9a - 27a = 240

Зведемо подібні терміни:

-20a = 240

Тепер, щоб знайти значення "a", поділимо обидві сторони на -20:

a = 240 / (-20) = -12

Тепер, коли ми знаємо перший член геометричної прогресії "a" (-12) та знаменник "r" (-3), ми можемо знайти перші 5 членів прогресії:

1. Перший член (a) = -12
2. Другий член (ar) = -12 * (-3) = 36
3. Третій член (ar^2) = -12 * (-3)^2 = -36
4. Четвертий член (ar^3) = -12 * (-3)^3 = 108
5. П'ятий член (ar^4) = -12 * (-3)^4 = -324

Отже, перші п'ять членів геометричної прогресії дорівнюють: -12, 36, -36, 108, -324.