Question

Здравствуйте, можете пожалуйста написать свойства функций y=5x-x^2+6 и y=x^2+4x-5. Надо написать где y>0,y<0, при каких значениях х функция возрастает и убывает

Answer 1

решение смотрите во вложении

Answer 2

Здравствуйте! Рассмотрим функции по очереди:

1. Функция y = 5x - x^2 + 6:

a) Найдем корни функции (места пересечения графика с осью x), чтобы определить, где функция меняет знак:

Для этого решим уравнение y = 0: 0 = 5x - x^2 + 6

Перепишем уравнение в стандартной квадратичной форме: x^2 - 5x + 6 = 0

Теперь решим уравнение: (x - 2)(x - 3) = 0

Итак, у нас два корня: x = 2 и x = 3.

b) Найдем вершину параболы, чтобы определить направление выпуклости:

x = -b / 2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. a = -1, b = 5

x = -5 / 2 * (-1) = 5 / 2 = 2.5

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2.5, 7.25).

c) Теперь определим, где функция y > 0 и y < 0:

Для этого рассмотрим интервалы между корнями и за пределами их:

• Если x < 2 (то есть до первого корня), y > 0.
• Если 2 < x < 3 (между корнями), y < 0.
• Если x > 3 (за вторым корнем), y > 0.

d) Определим, где функция возрастает и убывает:

Чтобы определить возрастание и убывание, найдем производную функции: y = 5x - x^2 + 6

dy/dx = d(5x - x^2 + 6)/dx dy/dx = 5 - 2x

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 0 = 5 - 2x 2x = 5 x = 5/2 = 2.5

Таким образом, у нас одна критическая точка при x = 2.5.

Теперь анализируем производную на интервалах:

• Если x < 2.5, dy/dx > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.
• Если x > 2.5, dy/dx < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Итак, краткие свойства функции y = 5x - x^2 + 6:

• y > 0, когда x < 2 и x > 3
• y < 0, когда 2 < x < 3
• Функция возрастает на интервале (-∞, 2.5) и убывает на интервале (2.5, +∞)

2. Функция y = x^2 + 4x - 5:

a) Найдем корни функции, чтобы определить, где функция меняет знак:

Для этого решим уравнение y = 0: 0 = x^2 + 4x - 5

Перепишем уравнение в стандартной квадратичной форме: x^2 + 4x + 5 = 0

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней. Значит, функция не пересекает ось x и имеет один и тот же знак на всей числовой прямой.

b) Так как дискриминант отрицательный, функция y = x^2 + 4x - 5 всегда положительна (y > 0) на всей числовой прямой.

c) Определим, где функция возрастает и убывает:

Чтобы определить возрастание и убывание, найдем производную функции: y = x^2 + 4x - 5

dy/dx = d(x^2 + 4x - 5)/dx dy/dx = 2x + 4

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку: 0 = 2x + 4 2x = -4 x = -4/2 x = -2

Таким образом, у нас одна критическая точка при x = -2.

Теперь анализируем производную на интервалах:

• Если x < -2, dy/dx < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
• Если x > -2, dy/dx > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, краткие свойства функции y = x^2 + 4x - 5:

• y > 0 на всей числовой прямой
• Функция убывает на интервале (-∞, -2) и возрастает на интервале (-2, +∞)