Question

Cos115°-cos35°+cos65°+cos25°×cos115°=sin5° Докажите

Answer 1

Ответ:

=cos(90+25)-cos35+cos(90-25)+cos25=-sin25-cos35+sin25+cos25=cos25-cos35=2sin30sin5=2*1/2*sin5=sin5

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим левую сторону уравнения и попробуем упростить его с помощью тригонометрических тождеств:

cos(115°) - cos(35°) + cos(65°) + cos(25°) × cos(115°)

Первое тригонометрическое тождество, которое мы можем использовать, - это формула для суммы косинусов:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

1. Подставим A = 115° и B = 35°: cos(115°) + cos(35°) = 2 * cos((115° + 35°) / 2) * cos((115° - 35°) / 2) cos(115°) + cos(35°) = 2 * cos(75°) * cos(40°)

2. Подставим A = 65° и B = 25°: cos(65°) + cos(25°) = 2 * cos((65° + 25°) / 2) * cos((65° - 25°) / 2) cos(65°) + cos(25°) = 2 * cos(45°) * cos(20°)

Теперь у нас есть: cos(115°) - cos(35°) + cos(65°) + cos(25°) × cos(115°) = 2 * cos(75°) * cos(40°) + 2 * cos(45°) * cos(20°) × cos(115°)

Следующее тригонометрическое тождество, которое мы можем использовать, - это формула произведения косинусов:

cos(A) × cos(B) = 0.5 * (cos(A + B) + cos(A - B))

3. Подставим A = 115° и B = 40°: cos(115°) × cos(40°) = 0.5 * (cos(115° + 40°) + cos(115° - 40°)) cos(115°) × cos(40°) = 0.5 * (cos(155°) + cos(75°))

4. Подставим A = 45° и B = 20°: cos(45°) × cos(20°) = 0.5 * (cos(45° + 20°) + cos(45° - 20°)) cos(45°) × cos(20°) = 0.5 * (cos(65°) + cos(25°))

Теперь у нас есть: 2 * cos(75°) * cos(40°) + 2 * cos(45°) * cos(20°) × cos(115°) = cos(155°) + cos(75°) + cos(65°) + cos(25°) × cos(115°)

Продолжим упрощение:

5. cos(155°) = -cos(25°)
6. cos(75°) + cos(65°) = 2 * cos(70°) * cos(5°) (используем формулу суммы косинусов)
7. cos(115°) × cos(25°) = 0.5 * (cos(140°) + cos(90°)) = 0.5 * (-cos(40°))

Теперь у нас есть: -cos(25°) + 2 * cos(70°) * cos(5°) + 2 * cos(45°) * cos(20°) × 0.5 * (-cos(40°)) = -cos(25°) + cos(5°) - cos(40°) × cos(45°)

8. cos(40°) × cos(45°) = 0.5 * (cos(85°) + cos(5°))

Теперь у нас есть: -cos(25°) + cos(5°) - 0.5 * (cos(85°) + cos(5°)) = -cos(25°) - 0.5 * cos(85°)

9. cos(85°) = sin(5°)

Итак, у нас есть: -cos(25°) - 0.5 * sin(5°)

А также правая сторона уравнения: sin(5°)

Итак, мы доказали, что левая и правая стороны уравнения равны: -cos(25°) - 0.5 * sin(5°) = sin(5°)

Таким образом, уравнение доказано.