Question

Решить систему уравнений 9^x -2^y =1 { 9^-x -2^-y=-1/6

Answer 1

Ответ:  x=0,5   y=1.

Объяснениe:

$\left \{ {{9^{x}-2^{y} =1} \atop {\frac{1}{9^{x} } -\frac{1}{2^{y} } =-\frac{1}{6} }} \right.$

Пусть:  

$9^{x}=u>0;2^{y}=v>0.\\\left \{ {{u-v=1} \atop {\frac{1}{u}-\frac{1}{v} } =-\frac{1}{6} }} \right. ;\left \{ {{u-v=1} \atop {\frac{v-u}{u*v} =-\frac{1}{6} }} \right. ;\left \{ {{u-v=1} \atop {\\\frac{u-v}{u*v} =\frac{1}{6} }} ;\right. \;\left \{ {{u=v+1} \atop {\frac{1}{u*v} =\frac{1}{6} }} \right. ;\left \{ {{u=v+1} \atop {u*v=6}} ;\right.\\\left \{ {{u=v+1} \atop {v*(v+1)=6}} \right. ;\left \{ {{u=v+1} \atop {v^{2}+v-6 =0}} \right. ;\left \{ {{u=v+1} \atop {v^{2}+v+2v-2v-6 =0}} \right. ;$

$\left \{ {{u=v+1} \atop {v^{2} +3v-2v-6=0}} \right. ;\left \{ {{u=v+1} \atop {v*(v+3)-2*(v+3)=0}} \right. ;\left \{ {{u=v+1} \atop {(v+3)*(v-2)=0}} \right. ;\left \{ {{u_{1}=-2 ;u_{2} =3} \atop {v_{1} =-3;v_{2} =2}} \right.$

u₁=-2 ∉;   v₁=-3 ∉    ⇒

$\left \{ {{u=9^{x} =3} \atop {v^{2} =2^{y} =2}} \right. ;\left \{ {{3^{2x} =3^{1} } \atop {2^{y} =2^{1} }} \right. ;\left \{ {2x=1|:2} \atop {y=1}} \right. ;\left \{ {{x=0,5} \atop {y=1}} \right. .$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений поочередно. Уравнения системы:

1. $9^x - 2^y = 1$
2. $9^{-x} - 2^{-y} = -\frac{1}{6}$

Мы можем заметить, что во втором уравнении есть отрицательная степень, что может быть неудобным. Давайте избавимся от отрицательных степеней, возведя обе стороны в обратное значение:

$\frac{1}{9^x} - \frac{1}{2^y} = -\frac{1}{6}$

Теперь у нас есть следующая система уравнений:

1. $9^x - 2^y = 1$
2. $\frac{1}{9^x} - \frac{1}{2^y} = -\frac{1}{6}$

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки. Давайте выразим одну из переменных через другую из первого уравнения и подставим это значение во второе уравнение:

Из первого уравнения: $2^y = 9^x - 1$

Теперь подставим это во второе уравнение:

$\frac{1}{9^x} - \frac{1}{9^x - 1} = -\frac{1}{6}$

Теперь мы имеем уравнение с одной неизвестной ($x$), которое мы можем решить численно или графически. Если вы хотите численное решение, вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции. Если вы хотите графическое решение, вы можете построить график левой и правой частей уравнения и найти точку их пересечения.

После того, как вы найдете приближенное значение $x$, вы можете вернуться к первому уравнению и найти соответствующее значение $y$ с помощью $2^y = 9^x - 1$.