Question

Решить неравенство log5(2+x)</=2log5x

Answer 1

Ответ:

x∈[2;+∞)

Объяснение:

ОДЗ: x>0

log5(2+x)≤log5(x²)

2+x≤x²

x²-x-2≥0

x²-2x+x-2≥0

x(x-2)+(x-2)≥0

(x+1)(x-2)≥0

x∈(-∞;-1]∪[2;+∞)

Answer 2

Для решения неравенства логарифмов сначала преобразуем его, используя свойства логарифмов. Для начала, давайте перепишем неравенство:

$\log_5(2+x) \leq 2 \log_5(x)$

Затем применим свойство логарифма: $\log_a(b^n) = n \log_a(b)$:

$\log_5(2+x) \leq \log_5(x^2)$

Теперь избавимся от логарифмов, возведя обе стороны неравенства в степень с основанием 5:

$2+x \leq x^2$

Полученное квадратное неравенство можно решить следующим образом:

$x^2 - x - 2 \leq 0$

Факторизуем квадратный трехчлен:

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

Теперь найдем значения $x$, для которых выражение $(x - 2)(x + 1)$ меньше или равно нулю. Для этого нужно определить интервалы, на которых это выражение отрицательно или равно нулю. Применим метод интервалов:

1. Когда $x < -1$, оба множителя $(x - 2)$ и $(x + 1)$ отрицательны, следовательно, выражение положительно.
2. Когда $-1 < x < 2$, множитель $(x - 2)$ отрицателен, а $(x + 1)$ положителен, следовательно, выражение отрицательно.
3. Когда $x > 2$, оба множителя положительны, и выражение снова положительно.

Итак, выражение $(x - 2)(x + 1)$ отрицательно на интервале $-1 < x < 2$. Это означает, что неравенство $x^2 - x - 2 \leq 0$ выполняется на этом интервале.

Следовательно, решением исходного неравенства $\log_5(2+x) \leq 2 \log_5(x)$ является интервал $-1 < x < 2$.