Question

Исследуйте функцию у = 2х3 + 3х2 – 2 и постройте её график.

Answer 1

Ответ:

см фото

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, нам следует анализировать различные характеристики функции, такие как область определения, интервалы возрастания/убывания, точки экстремума, точки перегиба и т.д.

Исходная функция: $y = 2x^3 + 3x^2 - 2$

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений x, так как в данной функции нет знаменателей или корней, которые могли бы ограничить область определения.

2. Производные: Вычислим производные функции:

Первая производная: $y' = 6x^2 + 6x$ Вторая производная: $y'' = 12x + 6$

3. Точки экстремума: Точки экстремума находятся там, где первая производная равна нулю и меняет знак:

$6x^2 + 6x = 0$
$6x(x + 1) = 0$

Таким образом, точки экстремума находятся при $x = 0$ и $x = -1$.

4. Интервалы возрастания/убывания: Анализируем знак первой производной:

• Для $x < -1$, $y' < 0$, функция убывает.
• Для $-1 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• Для $x > 0$, $y' > 0$, функция также возрастает.

5. Точки перегиба: Точки перегиба находятся там, где вторая производная меняет знак. Это происходит при $x = -0.5$, так как $y''(-0.5) = 0$, и вторая производная меняет свой знак с положительного на отрицательный.

Теперь построим график функции:

На графике видно, как функция ведет себя в различных областях, как проходит через точки экстремума и точку перегиба. Также можно заметить, что график имеет кубическу форму, характерную для функций с положительным коэффициентом перед $x^3$.