Question

Найдите точку минимума функции y=2x³-5x²-4x+12

Answer 1

Для нахождения точки минимума функции $y = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 12$ мы должны найти производную этой функции и приравнять её к нулю. Затем решим уравнение для $x$ и подставим его значение в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение $y$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (2x^3 - 5x^2 - 4x + 12) = 6x^2 - 10x - 4.$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для $x$: $6x^2 - 10x - 4 = 0.$

3. Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. По квадратному корню: $x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6}.$ $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{12}.$ $x = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{12}.$ $x = \frac{10 \pm 14}{12}.$

Получаем два значения $x$: $x_1 = \frac{10 + 14}{12} = \frac{24}{12} = 2,$ $x_2 = \frac{10 - 14}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}.$

4. Теперь подставим найденные значения $x$ обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения $y$: $y(x_1) = 2 \cdot (2^3) - 5 \cdot (2^2) - 4 \cdot 2 + 12 = 16 - 20 - 8 + 12 = 0.$ $y(x_2) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 12 = -\frac{2}{27} - \frac{5}{9} + \frac{4}{3} + 12 = \frac{22}{3}.$

Итак, точка минимума функции $y = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 12$ находится в точке $\left(2, 0\right)$, а минимальное значение функции равно $0$.