Question

Помогите срочноо. Заранее спасибо. Разложите на множители многочлен и найдите его корни: x^3-3x^2-3x+1

Answer 1

$x^3-3x^2-3x+1\\\left [ x^3+1 \right ]-\left [ 3x^2+3x \right ]\\(x+1)(x^2-x+1)-3x(x+1)\\(x+1)(x^2-4x+1)$

Answer 2

Конечно, я помогу вам разложить данный многочлен на множители и найти его корни. Ваш многочлен:

$x^3 - 3x^2 - 3x + 1$

Для начала, давайте попробуем найти рациональные корни многочлена, используя рациональный корневой теоремы (Rational Root Theorem). Все рациональные корни данного многочлена будут делителями свободного члена (1) и делителями старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные рациональные корни:

$\pm 1$

Теперь мы можем воспользоваться синтетическим делением или делением с остатком, чтобы проверить, какие из этих корней действительно являются корнями многочлена. Для начала, проверим $x = 1$:

luaCopy code
1 | 1 -3 -3 1
    1 -2 -5
    ----------
    1 -2 -5 -4

Результат деления не равен нулю, поэтому $x = 1$ не является корнем многочлена.

Теперь проверим $x = -1$:

diffCopy code
-1 | 1 -3 -3 1
     -1  4 -1
    ----------
      1 -4  0

Результат деления равен нулю, следовательно, $x = -1$ является корнем многочлена.

Поскольку $x = -1$ является корнем многочлена, мы можем поделить многочлен на $x + 1$ с использованием синтетического деления или обычного деления:

$(x^3 - 3x^2 - 3x + 1) \div (x + 1) = x^2 - 4x + 1$

Теперь нам нужно разложить $x^2 - 4x + 1$ на множители. Мы можем воспользоваться квадратным трехчленом или попробовать решить квадратное уравнение $x^2 - 4x + 1 = 0$. После решения этого уравнения, мы найдем два дополнительных корня:

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Итак, корни исходного многочлена $x^3 - 3x^2 - 3x + 1$ это:

$x = -1, \quad x = 2 + \sqrt{3}, \quad x = 2 - \sqrt{3}$