Question

Знайти похідну функції f(x) = (cos⁡(π+x))/(cos⁡(π/2+x)) в точці x0 = -π/4

Answer 1

$\huge \sf f(x)=\frac{cos(\pi+x)}{cos(\frac{\pi}{2}+x)}\\\\f(x)=\frac{-cos(x)}{-sin(x)}=ctg(x)\\\\f'(x)=-\frac{1}{sin^2(x)} \\\\f'(x_0)=-\frac{1}{sin^2(\frac{-\pi}{4} )}=-2$

Answer 2

Давайте знайдемо похідну функції f(x) = (cos(π+x))/(cos(π/2+x)) за допомогою правила диференціювання добутку та правила диференціювання складеної функції.

Спершу знайдемо похідну чисельника та знаменника окремо:

Нумератор: f₁(x) = cos(π+x) f₁'(x) = -sin(π+x)

Знаменник: f₂(x) = cos(π/2+x) f₂'(x) = -sin(π/2+x)

Тепер застосуємо правило диференціювання добутку:

f'(x) = (f₁' * f₂ - f₁ * f₂') / (f₂)²

Підставляючи значення похідних та функцій у формулу:

f'(x) = (-sin(π+x) * cos(π/2+x) - cos(π+x) * -sin(π/2+x)) / (cos(π/2+x))²

Тепер замінимо x на x₀ = -π/4:

f'(-π/4) = (-sin(π+(-π/4)) * cos(π/2+(-π/4)) - cos(π+(-π/4)) * -sin(π/2+(-π/4))) / (cos(π/2+(-π/4)))²

Знаючи значення синуса та косинуса на спеціальних кутах, отримаємо:

f'(-π/4) = (1/√2 * 0 - 0 * -1/√2) / (1/√2)² f'(-π/4) = 0

Отже, похідна функції f(x) = (cos(π+x))/(cos(π/2+x)) в точці x₀ = -π/4 дорівнює 0.