Question

Воспользовавшись определением, найдипроизводную функции в точке x: y=10x²+8x.Опиши шаги решения:1. f(x)=x2+x;2. f(x+Δx)=x2+x⋅Δx+⋅(Δx)2+x+Δx;3. Δy=x⋅Δx+(Δx)2+⋅Δx;4. ΔyΔx=x+⋅Δx+;5. f′(x)=x+. ​

Answer 1

Ответ:

y = 13x²

Δy = 13(x+Δx)² - 13x² = 13(x² + 2x*Δx + Δx²) - 13x² =  

= 13x² +26x*Δx +13Δx² - 13x² = 26x*Δx +13Δx²

limΔy/Δx = lim(26x*Δx +13Δx²)/Δx = 26x

Δx→0        Δx→0

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с поиском производной функции $f(x) = 10x^2 + 8x$ в точке $x$ с помощью предоставленных шагов:

1. Начнем с исходной функции: $f(x) = 10x^2 + 8x$.

2. Заменим $x$ на $x + \Delta x$ в функции $f(x)$: $f(x + \Delta x) = 10(x + \Delta x)^2 + 8(x + \Delta x)$.

3. Выразим изменение $y$ ($\Delta y$) в терминах $\Delta x$: $\Delta y = 10(x + \Delta x)^2 + 8(x + \Delta x) - (10x^2 + 8x)$.

4. Раскроем квадрат $(x + \Delta x)^2$ и упростим выражение: $\Delta y = 10(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 8x + 8\Delta x - 10x^2 - 8x$. $\Delta y = 10x^2 + 20x\Delta x + 10(\Delta x)^2 + 8x + 8\Delta x - 10x^2 - 8x$. $\Delta y = 20x\Delta x + 10(\Delta x)^2 + 8\Delta x$.

5. Разделим $\Delta y$ на $\Delta x$, чтобы найти производную в точке $x$: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 20x + 10\Delta x + 8$.

6. Теперь мы можем найти предел $\Delta x$ при $\Delta x \to 0$ для выражения выше: $f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} (20x + 10\Delta x + 8) = 20x + 8$.

Таким образом, производная функции $f(x) = 10x^2 + 8x$ в точке $x$ равна $f'(x) = 20x + 8$, что соответствует результату $f'(x) = x + 8$ из предоставленных шагов.