Question

Решите двойное неравенство 6x - 9 < x² ≤ 4x - 3

Answer 1

Решение:

Данное двойное неравенство равносильно системе двух квадратных неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{ 6x-9 < x^2} \atop { x^2 \leq 4x-3}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{ x^2 - 6x + 9 > 0} \atop { x^2 - 4x+ 3 \leq 0}} \right.$

Первое неравенство $x^2 - 6x + 9 > 0$.

Заметим, что в левой части скрывается квадрат разности (формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2$): $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Неравенство принимает следующий вид: $(x-3)^2 > 0$.

Так как квадрат числа всегда неотрицательный, то нам не подходит всего лишь один случай: $(x-3)^2 = 0$ и $x=3$.

Значит, первой неравенство эквивалентно тому, что $x \ne 3$.

Второе неравенство $x^2 - 4x + 3 \leq 0$.

Вспомогательной уравнение $x^2-4x+3=0$ имеет по теореме Виета (утверждающей, что $x_1x_2=3$ и $x_1+x_2=4$) корни $x_1=1$ и $x_2=3$.

Из этого следует разложение левой части на множители: $(x-1)(x-3) \leq 0$.

Метод интервалов подсказывает решение $x \in [ 1; 3 ]$.

     + + +                 - - -                    + + +    

_________$[ \; 1 \; ]$_________$[ \; 3 \; ]$_________

                     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Значит, второе неравенство равносильно тому, что $1 \leq x \leq 3$.

Имеем значительно более простую систему неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{ x\neq 3} \atop {1 \leq x \leq 3}} \right.$

Вполне понятно, что ее решением является $1 \leq x < 3$ (как пересечения двух промежутков).

Или же ${ x \in [1 ; 3)}$.

Задача решена!

Ответ:

$\Large \boxed { \bf x \in \Big [ \; 1 ; \; 3 \; \Big )}$

Answer 2

Давайте решим это двойное неравенство по порядку.

Начнем с первого неравенства:

6x - 9 < x²

Перенесем все термины в левую сторону:

x² - 6x + 9 > 0

Теперь мы должны найти значения x, для которых это квадратное уравнение больше нуля. Для этого можно использовать метод интервалов знакопостоянства.

Разложим квадратное уравнение на множители:

(x - 3)(x - 3) > 0

(x - 3)² > 0

У нас есть квадратный множитель, который равен нулю в точке x = 3. Значит, неравенство будет выполняться в одном из двух случаев: либо оба множителя больше нуля, либо оба множителя меньше нуля.

Когда оба множителя больше нуля:

(x - 3) > 0 и (x - 3) > 0

x > 3 и x > 3

Объединяя эти два условия, получаем:

x > 3

Когда оба множителя меньше нуля, неравенство не выполняется, так как произведение двух отрицательных чисел будет положительным.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

x² ≤ 4x - 3

Перенесем все термины в левую сторону:

x² - 4x + 3 ≤ 0

Разложим квадратное уравнение на множители:

(x - 1)(x - 3) ≤ 0

Теперь мы должны найти значения x, для которых это квадратное уравнение меньше или равно нулю.

Когда оба множителя больше нуля:

(x - 1) > 0 и (x - 3) > 0

x > 1 и x > 3

Объединяя эти два условия, получаем:

x > 3

Когда оба множителя меньше нуля:

(x - 1) < 0 и (x - 3) < 0

x < 1 и x < 3

Объединяя эти два условия, получаем:

x < 1

Теперь объединим результаты из двух неравенств:

x > 3 и x < 1

Однако эти два условия не могут выполняться одновременно, так как нет числа, которое было бы больше 3 и меньше 1 одновременно.

Следовательно, данное двойное неравенство не имеет решений.