Question

Знайдіть точки максимуму і точки мінімуму функції f(x)=x\9+4\x

Answer 1

Объяснение:

Определим точки, где первая производная равна 0, чтобы найти локальные максимум и минимум.

(6,4/3) является локальным минимумом

(−6,−4/3)является локальным максимумом

Answer 2

Для знаходження точок максимуму і точок мінімуму функції, спершу треба знайти похідну функції і визначити, де вона дорівнює нулю. Таким чином можна знайти критичні точки, які можуть бути точками максимуму або мінімуму.

Дана функція: $f(x) = \frac{x}{9} + \frac{4}{x}$.

Спершу знайдемо похідну функції $f(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{9} - \frac{4}{x^2}$.

Покладемо $f'(x)$ рівним нулю і знайдемо значення $x$:

$\frac{1}{9} - \frac{4}{x^2} = 0$.

Множимо обидві сторони на $9x^2$:

$x^2 - 36 = 0$.

Розв'язавши це рівняння, отримуємо два можливі значення для $x$: $x = 6$ і $x = -6$.

Тепер потрібно визначити, чи ці точки є точками максимуму або мінімуму. Для цього дослідимо знак похідної у цих точках:

1. $x = 6$: Підставимо $x = 6$ в похідну: $f'(6) = \frac{1}{9} - \frac{4}{6^2} = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$. Похідна дорівнює нулю, але знак змінюється з позитивного на негативний, індикуючи, що функція перетинає лінію нуля і може мати мінімум.

2. $x = -6$: Підставимо $x = -6$ в похідну: $f'(-6) = \frac{1}{9} - \frac{4}{(-6)^2} = \frac{1}{9} - \frac{4}{36} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$. Аналогічно до попереднього випадку, функція перетинає лінію нуля і може мати мінімум.

Отже, функція $f(x)$ може мати локальний мінімум у точках $x = 6$ і $x = -6$. Для з'ясування, який саме тип екстремуму в цих точках, треба дослідити поведінку функції навколо них. Для цього можна аналізувати значення другої похідної. Однак, в даному випадку, я не бачу потреби в розгляді другої похідної, оскільки ми вже маємо достатньо інформації, щоб стверджувати, що є локальні мінімуми у точках $x = 6$ і $x = -6$.