Question

ПОЖАЛУЙСТА, РЕШИТЕ выполнить исследование функции и построить графики. f(x)= 1+2x^2-x^4 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: исследование смотри внизу графика

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам выполнить исследование функции f(x) = 1 + 2x^2 - x^4 и построить графики. Давайте начнем!

1. Найдем производные:

Первая производная: f'(x) = d/dx (1 + 2x^2 - x^4) f'(x) = 4x - 4x^3

Вторая производная: f''(x) = d^2/dx^2 (1 + 2x^2 - x^4) f''(x) = 4 - 12x^2

2. Найдем точки экстремума:

Для этого приравняем первую производную к нулю и решим уравнение: 4x - 4x^3 = 0 4x(1 - x^2) = 0 x = 0, x = 1, x = -1

Подставим найденные значения x в исходную функцию: f(0) = 1 f(1) = 1 + 2 - 1 = 2 f(-1) = 1 + 2 - 1 = 2

Таким образом, точки экстремума: (0, 1), (1, 2), (-1, 2).

3. Найдем точку перегиба:

Для этого приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: 4 - 12x^2 = 0 12x^2 = 4 x^2 = 4/12 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3)

4. Исследование на интервалах:

Интервал (-∞, -1):

• f'(x) > 0 (положительная первая производная), значит, функция возрастает на этом интервале.

Интервал (-1, 0):

• f'(x) > 0 (положительная первая производная), функция возрастает.

Интервал (0, 1):

• f'(x) > 0 (положительная первая производная), функция возрастает.

Интервал (1, √(1/3)):

• f'(x) < 0 (отрицательная первая производная), функция убывает.

Интервал (√(1/3), ∞):

• f'(x) < 0 (отрицательная первая производная), функция убывает.

5. Построим график:

Ниже представлен график функции f(x) = 1 + 2x^2 - x^4:

(Вставьте график)

Пожалуйста, обратите внимание, что могут быть небольшие погрешности в точности построения графика из-за визуального представления и ограниченной точности текстовой информации.