Question

Представьте многочлен х3 – 11х2 + 38х - 40 в виде произведения неприводимых множителей а) над по-лем действительных чисел; б) над полем комплексных чисел.

Answer 1

Ответ:

30х-40 ллолтибмдсддджєєє

Answer 2

б)x3-11x2+38x=40......

Answer 3

Давайте рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 11x^2 + 38x - 40$ и попробуем разложить его на неприводимые множители.

а) Над полем действительных чисел:

Многочлен имеет коэффициенты, принадлежащие полю действительных чисел. Для того чтобы найти неприводимые множители, можно воспользоваться графическим методом или методом деления многочлена с остатком. В данном случае, я могу предоставить результат без фактического деления.

Поиск корней $P(x) = 0$ может помочь нам определить неприводимые множители. Начнем с поиска целочисленных корней (используя рациональный корневой теоремы) и затем воспользуемся методом синтетического деления:

1. Попробуем целые делители 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 (положительные и отрицательные), чтобы найти корни многочлена.
2. Допустим, мы нашли корень $x = a$.
3. Делением $P(x)$ на $x - a$ получим многочлен $Q(x)$.
4. Продолжим поиск корней в $Q(x)$ и так далее, пока не разложим $P(x)$ на неприводимые множители.

Для этого конкретного многочлена давайте предположим, что $x = 2$ является корнем:

$$P(x) = x^3 - 11x^2 + 38x - 40 \\ P(2) = 2^3 - 11 \cdot 2^2 + 38 \cdot 2 - 40 = 0.$$

Значит, $x = 2$ - корень многочлена. Применяем синтетическое деление:

$$\begin{array}{rrrr|r} 2 & 1 & -11 & 38 & -40 \\ & & 2 & -18 & 40 \\ \hline & 1 & -9 & 20 & 0 \\ \end{array}$$

Получили $Q(x) = x^2 - 9x + 20$, что разлагается как $(x - 5)(x - 4)$. Итак, над полем действительных чисел многочлен $P(x)$ разлагается следующим образом:

$P(x) = (x - 2)(x - 5)(x - 4).$

б) Над полем комплексных чисел:

Мы можем использовать теорему Безу и деление многочлена $P(x)$ на $x - a$, чтобы найти неприводимые множители в поле комплексных чисел. Основные шаги будут аналогичны, но теперь мы будем рассматривать комплексные корни многочлена.

Поиск корней $P(x) = 0$ даст нам комплексные корни, например, $x = 2 + 3i$. Таким образом, мы можем разложить $P(x)$ на неприводимые множители следующим образом:

$P(x) = (x - 2)(x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i).$

Итак, над полем комплексных чисел многочлен $P(x)$ разлагается следующим образом:

$P(x) = (x - 2)(x - 2 - 3i)(x - 2 + 3i).$