Question

сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма трёх первых членов равна 156. Найдите первый член b1 и знаменатель прогрессии q. Срочно ПРОШУ!!! ​

Answer 1

Решение:

• Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $\tt S = \dfrac{b_1}{1-q}$. По условию, значение этого выражения в точности равняется $\emph{162}$.
• Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна $\tt b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, это $\emph{156}$.

Получаем систему уравнений:    

$\displaystyle \left \{ {{ \dfrac{b_1}{1-q} = 162} \atop {b_1+b_1q+b_1q^2=156}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{ b_1=162-162q } \atop {b_1+b_1q+b_1q^2=156}} \right.$

Проще всего решить такую систему заменой (в полученном уравнении все очень удачно посокращается и мы избежим участи решать полное кубическое уравнение):

$(162-162q)+(162-162q) \cdot q + (162-162q) \cdot q^2 - 156 = 0\\\\(81-81q)+(81-81q) \cdot q + (81-81q) \cdot q^2 - 78 = 0\\\\-81q^3+3=0\\\\81q^3 = 3\\\\q^3=\dfrac{1}{27} \\\\q = \dfrac{1}{3}$

Осталось только $b_1$ найти:

$\displaystyle b_1=162 \cdot (1-q) = 162 \cdot \bigg (1 - \frac{1}{3} \bigg ) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 108$

Задача решена!

Ответ:

$\large {\boxed {b_1 = 108; \;\;\; q = \frac{1}{3} }}$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$ и знаменатель прогрессии как $q$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q},$ где $S$ - сумма прогрессии.

Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии: $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 156.$

Из условия известно, что сумма бесконечной прогрессии $S$ равна 162. Таким образом: $\frac{b_1}{1 - q} = 162.$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

b_1 + b_1q + b_1q^2 &= 156, \\ \frac{b_1}{1 - q} &= 162. \end{align*}\] Первое уравнение можно переписать в виде: \[b_1(1 + q + q^2) = 156.\] Рассмотрим отношение второго уравнения к первому: \[\frac{\frac{b_1}{1 - q}}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{162}{156}.\] Упростим левую часть уравнения: \[\frac{1}{1 - q} = \frac{27}{26}.\] Теперь можно решить это уравнение относительно \(q\): \[1 - q = \frac{26}{27},\] \[q = 1 - \frac{26}{27},\] \[q = \frac{1}{27}.\] Теперь, найдя значение \(q\), подставим его в первое уравнение: \[b_1(1 + \frac{1}{27} + \frac{1}{27^2}) = 156,\] \[b_1(\frac{729 + 27 + 1}{27^2}) = 156,\] \[b_1(\frac{757}{729}) = 156,\] \[b_1 = \frac{156 \cdot 729}{757}.\] Таким образом, вычислив \(b_1\) и \(q\), мы получим: \[b_1 \approx 150.68,\] \[q \approx \frac{1}{27}.\]