Question

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 13, 13 и 35 соответственно. Найдите наименьшее возможное значение f(x).

Answer 1

Ответ:

10,25

Объяснение:

Пусть n-1, n и n+1 - три последовательные натуральные числа из условии.

Общий вид квадратичной функции: f(x)=a·x²+b·x+c₁. График этой функции парабола и симметрична относительно прямой

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{b}{2 \cdot a} .$

Это значение равно абсциссе вершины параболы. Функцию представим через  абсциссы вершины параболы x₀:

$\tt \displaystyle f(x)=a \cdot x^{2} + b\cdot x + c_{1}= a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x) + c_{1}= \\\\=a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 \cdot a} \cdot x+(\frac{b}{2 \cdot a})^2-(\frac{b}{2 \cdot a})^2) + c_{1}=\\\\=a \cdot (x+\frac{b}{2 \cdot a} )^{2} -a \cdot (\frac{b}{2 \cdot a})^2 + c_{1}=a \cdot (x-x_0 )^{2} -\frac{b^2}{4 \cdot a} + c_{1}= \\\\=a \cdot (x-x_0 )^{2}+c, \;\; c=\frac{b^2}{4 \cdot a} + c_{1}.$

Рассмотрим случаи.

1-случай. Коэффициент a<0. Тогда ветви параболы направлены вниз и

f(n-1)=13, f(n)=35 и f(n+1)=13 (см. рисунок 1).  

В этом случае наименьшее значение функции f(x) не существует (-∞ не принимается как значение функции).

2-случай. Коэффициент a>0. Тогда ветви параболы направлены вверх и

f(n-1)=13, f(n)=13 и f(n+1)=35 (см. рисунок 2).

Так как квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно  абсциссы вершины параболы x₀ , то

$\tt \displaystyle x_{0}=\frac{n-1+n}{2}=n-0,5.$

Теперь функцию представим через  абсциссы вершины параболы x₀:

f(x)=a·(x-n+0,5)²+c.

Так как a·(x-n+0,5)² ≥0, то наименьшее возможное значение f(x) равно с! Остаётся определить значение с.

Вычислим значения функции в последовательных натуральных значений аргумента:

f(n-1)=a·(n-1-n+0,5)²+c=a·(-0,5)²+c=0,25·a+c=13

f(n)=a·(n-n+0,5)²+c=a·0,5²+c=0,25·a+c=13

f(n+1)=a·(n+1-n+0,5)²+c=a·1,5²+c=2,25·a+c=35.

Получили систему уравнений:

$\tt \displaystyle \left \{ {{0,25 \cdot a+c=13 \;| \cdot 9} \atop {2,25 \cdot a+c=35}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2,25 \cdot a+9 \cdot c=117 } \atop {2,25 \cdot a+c=35}} \right. \Rightarrow 9 \cdot c-c=117-35\Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 8 \cdot c= 82 \Leftrightarrow c= 82:8=10,25.$

Answer 2

Для квадратичной функции вида f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b, c - коэффициенты, проходящей через три точки (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) верно следующее уравнение:

f(x) = y1 * ((x - x2) * (x - x3))/((x1 - x2) * (x1 - x3)) + y2 * ((x - x1) * (x - x3))/((x2 - x1) * (x2 - x3)) + y3 * ((x - x1) * (x - x2))/((x3 - x1) * (x3 - x2))

В данном случае, x1 = 1, y1 = 13, x2 = 2, y2 = 13, x3 = 3, y3 = 35. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

f(x) = 13 * (x - 2) * (x - 3)/((1 - 2) * (1 - 3)) + 13 * (x - 1) * (x - 3)/((2 - 1) * (2 - 3)) + 35 * (x - 1) * (x - 2)/((3 - 1) * (3 - 2))

упрощая выражение, получаем:

f(x) = -11x^2 + 68x - 45

Значение функции будет наименьшим в вершине параболы, которая находится в точке x = -b/(2a) = -68/(2*(-11)) = 3.1 (округляем до одного знака после запятой).

Подставляем x = 3.1 в выражение для f(x) и получаем:

f(3.1) = -11*(3.1)^2 + 68*3.1 - 45 ≈ 9.1

Таким образом, наименьшее возможное значение функции равно приблизительно 9.1.