Question

Доведіть тотожність (1-cos^2x) ( 1+tg^2x) = tg^2 x ​

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

Answer 2

За допомогою тригонометричних ідентичностей ми можемо довести цю тотожність. Спершу згадаймо основну тригонометричну ідентичність для тангенсу:

$\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x).$

Тепер виразимо $\sec^2(x)$ через $\cos(x)$:

$\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}.$

Замінимо це значення в основній ідентичності для тангенсу:

$\tan^2(x) + 1 = \frac{1}{\cos^2(x)}.$

Тепер виразимо $\tan^2(x)$ через $\cos(x)$:

$\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1.$

Підставимо це значення в задану тотожність:

$(1 - \cos^2(x)) \left( 1 + \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \right) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1.$

Спростимо вираз, використовуючи властивості множення та ділення:

$(1 - \cos^2(x)) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)}.$

Зараз використаємо тригонометричну ідентичність $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$:

$\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \tan^2(x).$

Це і є задана тотожність:

$\tan^2(x) = \tan^2(x).$

Отже, ми довели, що $(1 - \cos^2(x)) (1 + \tan^2(x)) = \tan^2(x)$.