Question

Неравенство (х-а )(2х-1 )( х +в) > 0 имеет решение ( -4; ) U (5;∞ ) . Найдите значения a и b. (решите пожалуйста)​

Answer 1

Ответ:  а=5 , b= 4    или   a=-4 , b=-5 .

Объяснение:

$(x-a)(2x-1)(x+b)>0$

Нули выражения, записанного слева;  $x_1=a\; ,\; \; x_2=\frac{1}{2}\; \; ,\; \; x_3=-b$  .

Решение неравенства имеет вид:   $x\in (-4\, ;\frac{1}{2}\, )\cup (\, 5\, ;+\infty )$  .

Знаки  выражения, записанного слева, чередуются таким образом:

$---(-4)+++(\frac{1}{2})---(5)+++$

Тогда само неравенство имеет вид:   $(x-5)(2x-1)(x+4)>0$  .

Поэтому возможны два варианта ответа:

 $a)\ \ x-a=x-5\ \ ,\ \ -a=-5\ \ ,\ \ a=5\\\\{}\ \ \ \ x+b=x+4\ \ ,\ \ b=4\\\\b)\ \ x-a=x+4\ \ ,\ \ -a=4\ \ ,\ \ a=-4\\\\{}\ \ \ \ x+b=x-5\ \ ,\ \ b=-5\\\\Otvet:\ \ a)\ \ a=5\ ,\ b=4\ \ \ \ \ ili\ \ \ \ \ b)\ \ a=-4\ ,\ b=-5\ .$

Answer 2

Данное неравенство имеет три множителя: (х-а), (2х-1) и (х+в). Чтобы выражение было больше нуля, необходимо, чтобы либо все три множителя были положительными, либо два из них были отрицательными и один положительный.

Первый случай: все три множителя положительны. (х-а) > 0, (2х-1) > 0 и (х+в) > 0.

Из первого неравенства (х-а) > 0 следует, что х > а. Из второго неравенства (2х-1) > 0 следует, что х > 1/2. Из третьего неравенства (х+в) > 0 следует, что х > -в.

Поскольку все три неравенства должны быть выполнены одновременно, минимальное значение х будет максимумом из трех чисел: а, 1/2 и -в. Мы знаем, что минимальное значение х равно -4, поэтому -4 = max(а, 1/2, -в).

Второй случай: два множителя отрицательны и один положительный. В этом случае либо (х-а) и (х+в) отрицательны, а (2х-1) положительно, либо (х-а) и (2х-1) отрицательны, а (х+в) положительно.

1. (х-а) < 0, (2х-1) > 0 и (х+в) < 0. Из первого неравенства (х-а) < 0 следует, что х < а. Из второго неравенства (2х-1) > 0 следует, что х > 1/2. Из третьего неравенства (х+в) < 0 следует, что х < -в.

   Поскольку все три неравенства должны быть выполнены одновременно, максимальное значение х будет минимумом из трех чисел: а, 1/2 и -в. Мы знаем, что максимальное значение х равно 5, поэтому 5 = min(а, 1/2, -в).

2. (х-а) < 0, (2х-1) < 0 и (х+в) > 0. Из первого неравенства (х-а) < 0 следует, что х < а. Из второго неравенства (2х-1) < 0 следует, что х < 1/2. Из третьего неравенства (х+в) > 0 следует, что х > -в.

   Поскольку все три неравенства должны быть выполнены одновременно, максимальное значение х будет минимумом из трех чисел: а, 1/2 и -в. Мы знаем, что максимальное значение х равно 5, поэтому 5 = min(а, 1/2, -в).

Таким образом, получаем два уравнения: -4 = max(а, 1/2, -в) и 5 = min(а, 1/2, -в).

Решим эти уравнения. Обратим внимание, что максимальное значение а должно быть меньше 1/2, иначе -4 не будет максимальным значением х.

Из первого уравнения -4 = max(а, 1/2, -в) следует, что -4 = а. Из второго уравнения 5 = min(а, 1/2, -в) следует, что 5 = -в.

Таким образом, a = -4 и b = -5.

Итак, значения a и b равны -4 и -5 соответственно.