Question

5. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1) 6, 4, 8/3, ...; 2) 5, -1, 1/5, ..., 3) 1, -1/4, 1/16, ...​

Answer 1

$\boxed {\; S=\dfrac{b_1}{1-q}\; \; ,\; esli\; \; |q|$

$1)\; \; \{b_{n}\}:\; \; 6\; ,\; 4\; ,\; \dfrac{8}{3}\; ,\; ...\\\\q=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}\; \; \to \; \; q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\; \; ,\; \; \; \; |q|=\dfrac{2}{3}$

$2)\; \; \{b_{n}\}:\; \; 5\; ,\; -1\; ,\; \dfrac{1}{5}\; ,\; ...\\\\q=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}\; \; \to \; \; q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-1}{5}\; \; ,\; \; \; \; |q|=\Big|-\dfrac{1}{5}\Big|=\dfrac{1}{5}$

$3)\; \; \{b_{n}\}:\; \; 1\; ,\; -\dfrac{1}{4}\; ,\; \dfrac{1}{16}\; ,\; ...\\\\q=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}\; \; \to \; \; q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-\frac{1}{4}}{1}=-\dfrac{1}{4}\; \; ,\; \; \; \; |q|=\Big|-\dfrac{1}{4}\Big|=\dfrac{1}{4}$

Answer 2

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{a}{1 - r},$

где $S$ - сумма прогрессии, $a$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Давайте найдем суммы для каждой из предложенных прогрессий:

1. Прогрессия: 6, 4, 8/3, ...

$a = 6$, $r = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Подставляем в формулу:

$S = \frac{6}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 18.$

2. Прогрессия: 5, -1, 1/5, ...

$a = 5$, $r = \frac{-1}{5}$.

Подставляем в формулу:

$S = \frac{5}{1 - \left(\frac{-1}{5}\right)} = \frac{5}{\frac{6}{5}} = \frac{25}{6}.$

3. Прогрессия: 1, -1/4, 1/16, ...

$a = 1$, $r = \frac{-1}{4}$.

Подставляем в формулу:

$S = \frac{1}{1 - \left(\frac{-1}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}.$

Итак, суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий равны:

1. 18
2. $\frac{25}{6}$
3. $\frac{4}{5}$