Question

Найдите большее и меньшее значения функции f(x) = -x^3 + 3x^2 + 5 на отрезке [0;3]

Answer 1

Ответ:

min = 5 ; max = 9

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения максимального и минимального значений функции $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 5$ на отрезке [0;3], нужно:

1. Найти значения функции на граничных точках интервала [0;3].
2. Найти критические точки функции внутри интервала [0;3] путем вычисления производной и приравнивания её к нулю.
3. Сравнить найденные значения для определения наибольшего и наименьшего значения.

1. Значения на граничных точках:

Подставляем значения $x = 0$ и $x = 3$ в функцию: $f(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 5 = 5$ $f(3) = -3^3 + 3 \cdot 3^2 + 5 = -27 + 27 + 5 = 5$

Таким образом, минимальное и максимальное значения на граничных точках равны 5.

2. Найдем критические точки:

Найдем производную функции: $f'(x) = -3x^2 + 6x$

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: $-3x^2 + 6x = 0$ $-3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Сравнение значений:

Подставляем критические точки в функцию $f(x)$: $f(0) = 5$ $f(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 + 5 = -8 + 12 + 5 = 9$

Сравнивая значения функции на граничных точках, критических точках и внутри интервала, получаем: Наименьшее значение: 5 Наибольшее значение: 9

Итак, на отрезке [0;3] наименьшее значение функции $f(x)$ равно 5, а наибольшее значение равно 9.