Question

Помогите решить. 60 баллов 1)sin2x=cos^2x 2)2sin^2(x)+3sin(x)*cos(x)-2cos^2(x)=0

Answer 1

1)Sin(2x)=cos(2x)

tg(2x)=1

2x=acrtg 1

2x= \frac{ \pi }{4}  + \pi  n n∈Z

x= \frac{ \pi }{8} +  \frac{ \pi n}{2}

2)Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

2sin²x + 3sinxcosx - 2cos²x = 0;

2sin²x/cos²x + 3sinxcosx/cos²x - 2cos²x/cos²x = 0;

2tg²x + 3tgx - 2 = 0;

Выполним замену tgx = t:

2t² + 3t - 2 = 0;

Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = ( 3)² - 4 * 2 *( - 2) = 9 + 16 = 25;

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √25) / 2 * 2 = ( -3 - 5) / 4 = - 8 / 4  = - 2;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √25) / 2 * 2 = ( -3 + 5) / 4 = 2 / 4  = 1/2;

4. Eсли t1 = - 2:

tgx = - 2;

х = arctg( - 2) + πn, n ∈ Z;

х = - arctg(2) + πn, n ∈ Z;

Eсли t2 = 1/2:

tgx = 1/2;

х2 = arctg(1/2) + πm, m ∈ Z;

Ответ: х = - arctg(2) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg(1/2) + πm, m ∈ Z.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти уравнения. Давайте начнем с первого:

1. sin(2x) = cos^2(x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать sin(2x) в терминах sin(x) и cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) = cos^2(x)

Теперь поделим обе стороны на cos(x) (если cos(x) ≠ 0):

2sin(x) = cos(x)

Теперь у нас есть уравнение в одной переменной. Мы также можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

2sin(x) = √(1 - sin^2(x))

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

4sin^2(x) = 1 - sin^2(x)

5sin^2(x) = 1

sin^2(x) = 1/5

sin(x) = ±√(1/5)

Так как sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, мы отбрасываем отрицательное значение.

sin(x) = √(1/5)

Теперь мы можем найти x, взяв обратный синус:

x = arcsin(√(1/5))

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. 2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Мы можем разложить произведение sin(x)cos(x) на (1/2)sin(2x), и заметить, что 2sin^2(x) + 2cos^2(x) = 2(sin^2(x) + cos^2(x)) = 2, используя тригонометрическое тождество.

Теперь уравнение упрощается:

2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 2 - 2cos^2(x) + 3sin(x)cos(x)

= 2 - 2(1 - sin^2(x)) + 3(1/2)sin(2x)

= 2 - 2 + 2sin^2(x) + 3sin(2x)

= 2sin^2(x) + 3sin(2x)

Мы заметили, что это выражение совпадает с первым уравнением sin(2x) = 2sin(x), которое мы уже решили.

Таким образом, второе уравнение сводится к первому:

2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

2sin(x) = cos(x)

И теперь мы можем использовать те же шаги, чтобы найти значения угла x.

Пожалуйста, обратите внимание, что тригонометрические уравнения могут иметь множество решений, так как синус и косинус - периодические функции. Вышеуказанные решения лишь одни из возможных.