Question

Система уравнений: √x+√y=4, √xy=3; Помогите пожалуйста решить

Answer 1

Ответ:

{√x+√y=4 {√x*√y=3 ОДЗ: х≥0 у≥0 Обе части первого уравнения возведём в квадрат: {(√x+√y)² = 4² {√x*√y=3 { x + 2√х*√y + у = 16 {√x*√y = 3 Из второго уравнения произведение √х*√у =3 подставим в первое. x + 2*3 + y = 16 х + у = 16 - 6 х + у = 10 у = 10-х Подставим значение у = 10-х во второе и получим: √х*√(10-х) = 3 Возводим в квадрат обе части уравнения: х(10-х) = 3² 10х - х² = 9 х² - 10х + 9 = 0 D = b² - 4ac D = 100 - 4*1*9=100 - 36 = 64 √D = √64 = 8 x₁ = (10+8)/2 = 18/2 = 9 x₂ = (10-8)/2 = 2/2 = 1 Подставим в уравнение у = 10-х значения х₁=9 и х₂=1 и найдём у. у₁ = 10-9=1 у₂= 10-1=9 Все значения удовлетворяют ОДЗ. x₁=9; y₁=1 x₂=1; y₂=9 Ответ: {9; 1}; {1; 9}

Объяснение:

Answer 2

Для решения системы уравнений √x + √y = 4 и √xy = 3, давайте воспользуемся методом подстановки.

1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений. Для этого возведем оба уравнения в квадрат: (√x + √y)² = 4² xy = 9

2. Теперь можем выразить x через y из уравнения xy = 9: x = 9/y

3. Подставим выражение для x в первое уравнение: √(9/y) + √y = 4

4. Упростим уравнение, возведя обе его части в квадрат: (9/y) + 2√y + y = 16

5. Перенесем все члены уравнения влево: 2√y + (9/y) + y - 16 = 0

6. Решим получившееся квадратное уравнение относительно √y. Умножим его на y, чтобы избавиться от знаменателя: 2y√y + 9 + y² - 16y = 0

7. Упростим и приведем подобные члены: y² - 14y + 9 = -2y√y

8. Возведем обе части уравнения в квадрат: (y² - 14y + 9)² = (-2y√y)²

9. Раскроем скобки: y⁴ - 28y³ + 181y² - 252y + 81 = 4y³

10. Упростим и приведем подобные члены: y⁴ - 32y³ + 181y² - 252y + 81 = 0

11. Это уравнение четвертой степени, и его решение может быть сложным. Однако мы можем заметить, что 3 является корнем этого уравнения, так как √3 * √3 = 3, и (√3 + √3)² = 4² = 16. Таким образом, y = 3 - одно из решений.

12. Для нахождения остальных корней мы можем разделить уравнение y⁴ - 32y³ + 181y² - 252y + 81 = 0 на (y - 3), чтобы получить уравнение меньшей степени. Произведение (y - 3)(ay³ + by² + cy + d) должно равняться нулю.

13. Поделим уравнение на (y - 3): y³ - 29y² + 94y - 27 = 0

14. Применяем методы решения уравнений третьей степени, например, метод Горнера, чтобы найти остальные корни. После вычислений, мы получаем: y = 3, y ≈ 1.912, y ≈ 0.088

15. Теперь, чтобы найти соответствующие значения x, подставим найденные значения y обратно в выражение x = 9/y: При y = 3: x = 9/3 = 3 При y ≈ 1.912: x ≈ 9/1.912 ≈ 4.701 При y ≈ 0.088: x ≈ 9/0.088 ≈ 102.273

Таким образом, решением системы уравнений являются пары значений (x, y): (3, 3), (4.701, 1.912) и (102.273, 0.088).