Question

Члени геометричної прогресії – натуральні числа. Третій член дорівнює кубу першого. Сума першого і третього членів у 5 разів більша від першого члену. Знайдіть цю прогресію і суму п’яти її членів.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

b3= (b1)³

b1+b3=5b1

b3=4b1

(b1)³=4b1

b1²=4

поскольку прогрессия из натуральных чисел, то b1=2

b3=8

b3=b1*q²=8

q²=4

q=2, прогрессия неубывающая

S5= 2*(32-1)/(2-1)= 62

Answer 2

Нехай перший член геометричної прогресії дорівнює а, а різниця між сусідніми членами дорівнює r.

За умовою, третій член дорівнює кубу першого, тобто a * r^2 = a^3.

Запишемо другий і третій члени прогресії:

Другий член: a * r Третій член: a * r^2

За умовою, сума першого і третього членів у 5 разів більша від першого члену:

a + a * r^2 = 5a

Тепер ми маємо систему рівнянь:

a * r^2 = a^3 a + a * r^2 = 5a

Поділимо друге рівняння на a:

1 + r^2 = 5

r^2 = 4

r = ±2

Якщо r = 2, то a * 2^2 = a^3. Отримуємо a = 4.

Якщо r = -2, то a * (-2)^2 = a^3. Отримуємо a = -4.

Таким чином, можна знайти дві геометричні прогресії:

1. а = 4, r = 2. Члени прогресії: 4, 8, 16, 32, 64.
2. а = -4, r = -2. Члени прогресії: -4, 8, -16, 32, -64.

Сума п'яти членів першої прогресії: 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 124. Сума п'яти членів другої прогресії: -4 + 8 + (-16) + 32 + (-64) = -44.