Question

Помогите решить систему уравнений :з8х - 2 < х -1 2х² - х - 1 ≤ 0

Answer 1

Ответ:

х∈[-1/2, 1/7).

Объяснение:

Решить систему неравенств:

8х - 2 < х -1

2х² - х - 1 ≤ 0

Первое неравенство.

8х - 2 < х -1

8х-х< -1+2

7x<1

x<1/7

x∈(-∞, 1/7), решение первого неравенства.

Неравенство строгое, скобки круглые.

Второе неравенство, решить как квадратное уравнение:

2х² - х - 1 =0

х₁,₂=(1±√1+8)/4

х₁,₂=(1±√9)/4

х₁,₂=(1±3)/4

х₁= -2/4

х₁= -1/2

х₂=4/4

х₂=1

Начертим СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -1/2 и х=1. По графику ясно видно, что у<=0 при х от -1/2 до 1, то есть, решения неравенства находятся в интервале  

х∈ [-1/2, 1], это решение второго неравенства.  

Неравенство нестрогое, значения х= -1/2 и х=1 входят в число решений неравенства, скобки квадратные.

Теперь нужно найти пересечение решений неравенств, то есть, такое решение, которое подходит и первому, и второму неравенствам.

На числовой оси отмечаем точки  -1/2, 1/7 (≈0,1) и 1.

Наносим штриховку в соответствии с интервалами: от 1/7 (≈0,1) влево до - бесконечности, от -1/2 вправо до 1.

Пересечение х∈[-1/2, 1/7), это и есть решение системы неравенств.

Answer 2

Давайте решим систему уравнений поочередно:

1. Неравенство 8х - 2 < х - 1: Сначала сгруппируем переменные x влево и числа вправо: 8х - х < 1 - 2 7х < -1 Теперь разделим обе части неравенства на 7, помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак: х < -1/7

2. Неравенство 2х² - х - 1 ≤ 0: Сначала найдем корни квадратного уравнения 2х² - х - 1 = 0: Можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти корни: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a Для данного уравнения, a = 2, b = -1 и c = -1. x = (-(-1) ± √((-1)² - 42(-1))) / (2*2) x = (1 ± √(1 + 8)) / 4 x = (1 ± √9) / 4 x = (1 ± 3) / 4

   Таким образом, получаем два корня: x₁ = (1 + 3) / 4 = 1 и x₂ = (1 - 3) / 4 = -1/2.

   Теперь рассмотрим знак выражения 2х² - х - 1 в интервалах между корнями и за пределами этих корней:

   a) Для x < -1/2: Подставим x = -1 в неравенство: 2*(-1)² - (-1) - 1 ≤ 0 2 + 1 - 1 ≤ 0 2 ≤ 0 Условие не выполняется для x < -1/2.

   b) Для -1/2 ≤ x ≤ 1: Подставим x = 0 в неравенство: 2*0² - 0 - 1 ≤ 0 -1 ≤ 0 Условие выполняется для -1/2 ≤ x ≤ 1.

   c) Для x > 1: Подставим x = 2 в неравенство: 2*2² - 2 - 1 ≤ 0 8 - 2 - 1 ≤ 0 5 ≤ 0 Условие не выполняется для x > 1.

   Итак, решением неравенства 2х² - х - 1 ≤ 0 является -1/2 ≤ x ≤ 1.

Таким образом, решение системы уравнений состоит из двух частей:

1. x < -1/7
2. -1/2 ≤ x ≤ 1