Question

Число 162 є членом геометричної прогресії 2/9; 2/3; 2; ... Знайдіть номер цього числа.

Answer 1

$b_1=\frac29,\;b_2=\frac23,\;b_3=3,\;b_n=162\\n=?$

Решение:

$b_2=b_1\cdot q\Rightarrow q=\frac{b_2}{b_1}=\frac23:\frac29=\frac23\cdot\frac92=3$

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}\\\\\frac29\cdot3^{n-1}=162\\\\3^{n-1}=162:\frac29\\\\3^{n-1}=162\cdot\frac92=81\cdot9=729\\\\3^{n-1}=3^6\\\\n-1=6\\\\\boxed{n=7}$

Answer 2

Для знаходження номера числа 162 в геометричній прогресії, спочатку треба знайти співвідношення між кожним членом прогресії.

Зазначена геометрична прогресія має співвідношення зростання:

r = (член прогресії n) / (член прогресії n-1)

Так як перший член прогресії (2/9) та другий член (2/3) відомі, ми можемо використати їх для обчислення співвідношення зростання:

r = (2/3) / (2/9) = (2/3) * (9/2) = 3.

Отримали, що співвідношення зростання рівне 3.

Тепер, щоб знайти номер числа 162, ми можемо скористатися формулою для n-го члена геометричної прогресії:

a_n = a_1 * r^(n-1),

де a_n - n-й член прогресії, a_1 - перший член прогресії, r - співвідношення зростання, n - номер члена прогресії.

Підставляючи відомі значення, ми отримуємо рівняння:

162 = (2/9) * 3^(n-1).

Щоб розв'язати це рівняння, помножимо обидві сторони на 9, щоб позбутися від знаменника:

162 * 9 = 2 * 3^(n-1).

1458 = 2 * 3^(n-1).

Розділимо обидві сторони на 2:

729 = 3^(n-1).

Тепер можемо використати логарифми для визначення значення показника:

log₃(729) = n - 1.

Оскільки log₃(729) = 6, можемо записати:

6 = n - 1.

Додавши 1 до обох сторін рівняння, отримаємо:

n = 7.

Тому число 162 є 7-м членом геометричної прогресії.