Question

Найди корни уравнения 5cos2x+8cosx−4=0. Корнями уравнения являются: 1 x=arccos0,4+2πn 2 arccos(−2)+πn 3 x=−arccos0,4+2πn 4 нет корней 5 π−arccos0,4+2πn 6 −arccos(−2)+2πn

Answer 1

Ответ:

$5cos2x + 8cosx-4=0\\5(cos^2x-1) + 8cosx -4 = 0\\5cos^2x+8cosx - 9 = 0\\/cosx = t/\\5t^2+8t-9=0\\D = b^2 - 4ac = 64 + 180 => t_1 = \frac{-8 + 12}{10} = 0,4; t _2 =\frac{-8-12}{10}=-2\\ cosx = t_1; arccos(x) = \{-1, 1\} = > cosx\neq t_2\\cosx=0.4=>x=arccos(0.4)+2\pi k$

Answer 2

Данное уравнение является тригонометрическим уравнением, содержащим косинусы. Давайте найдем его корни.

Уравнение: $5\cos(2x) + 8\cos(x) - 4 = 0$

Мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями для решения данного уравнения.

Сначала заметим, что $2\cos^2(x) - 1 = \cos(2x)$ (формула двойного угла для косинуса).

Подставим это в уравнение:

$5(2\cos^2(x) - 1) + 8\cos(x) - 4 = 0$

$10\cos^2(x) + 8\cos(x) - 9 = 0$

Теперь это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$a = 10, \quad b = 8, \quad c = -9$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 64 + 360 = 424$.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня:

$\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\cos(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{424}}{20}$

$\cos(x) = \frac{-8 \pm 2\sqrt{106}}{20}$

$\cos(x) = -\frac{2}{5} \pm \frac{\sqrt{106}}{5}$

Теперь найдем соответствующие углы, чьи косинусы равны этим значениям:

1. $x = \arccos\left(-\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{106}}{5}\right) + 2\pi n$
2. $x = \arccos\left(-\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{106}}{5}\right) + 2\pi n$

Где $n$ - целое число.

Это ответы 1 и 2 из предложенных вами вариантов.