Question

Осталось 5 минут!!!! Решите уравнение 8sinx+11cosx=√185. x=...arcsin .../√...+π/...+πn,n∈Z. Вставте числа вместо точек.

Answer 1

$8sin(x)+11cos(x)=\sqrt{185}\\\sqrt{185}(\frac{8}{\sqrt{185}}sin(x) + \frac{11}{\sqrt{185}}cos(x)) = \sqrt{185} \\cos\phi sin(x)+sin\phi cos(x) = 1\\\phi = arcsin\frac{11}{\sqrt{185}}\\ sin(x+\phi)=1\\x + \phi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z\\ x = \frac{\pi}{2} -\phi + 2\pi n, n \in Z\\x = \frac{\pi}{2} -arcsin\frac{11}{\sqrt{185}} + 2\pi n, n \in Z$

Answer 2

Давайте решим это уравнение:

Уравнение: 8sin(x) + 11cos(x) = √185

Первым шагом, давайте выразим sin(x) и cos(x) через одну известную функцию, например, через sin(α) и cos(α), где α - некоторый угол:

8sin(x) + 11cos(x) = √185 (8/√185)sin(x) + (11/√185)cos(x) = 1

Мы видим, что коэффициенты перед sin(x) и cos(x) совпадают с коэффициентами перед sin(α) и cos(α) в уравнении треугольника:

(8/√185) = sin(α) (11/√185) = cos(α)

Теперь найдем значение sin(α) и cos(α):

sin(α) = 8/√185 cos(α) = 11/√185

Так как sin(α) и cos(α) являются отношениями катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, их квадраты в сумме равны 1:

(sin(α))^2 + (cos(α))^2 = 1 (8/√185)^2 + (11/√185)^2 = 1 64/185 + 121/185 = 1 185/185 = 1

Теперь, зная, что (sin(α))^2 + (cos(α))^2 = 1, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1

Это значит, что sin(α) и cos(α) могут быть значениями синуса и косинуса некоторого угла. Мы видим, что у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 8, 11 и гипотенузой √185, и поэтому:

sin(α) = 8/√185 cos(α) = 11/√185

Теперь нам нужно найти угол α, для которого sin(α) = 8/√185 и cos(α) = 11/√185.

α = arcsin(8/√185) = arccos(11/√185)

Теперь мы можем найти x, используя найденное значение α:

x = α + πn = arcsin(8/√185) + πn = arccos(11/√185) + πn

Таким образом, ответом будет:

x = arcsin(8/√185) + πn, где n - целое число.