Question

Сформулируйте свойства неравенств, используемые при решении и доказательстве неравенств и их систем?

Answer 1

Ответ:

число  

a

больше  

b

, когда  разность  

a

−

b

– положительное число;

число  

a

меньше  

b

, когда разность  

a

−

b

– отрицательное число;

число  

a

равно  

b

, когда разность  

a

−

b

равняется нулю.

Объяснение:

Answer 2

При решении и доказательстве неравенств и их систем используются различные свойства, которые позволяют сделать логические шаги и преобразования, сохраняя при этом истинность неравенств. Вот некоторые из таких свойств:

1. Свойство сложения и вычитания: Если к обеим сторонам неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то направление неравенства не изменится. Например, если $a < b$, то $a + c < b + c$.

2. Свойство умножения и деления на положительное число: Если обе стороны неравенства умножить (или поделить) на положительное число, то направление неравенства не изменится. Например, если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$.

3. Свойство умножения и деления на отрицательное число: Если обе стороны неравенства умножить (или поделить) на отрицательное число, то направление неравенства изменится. Например, если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$.

4. Свойство инвертирования при смене знака: Если поменять знаки на обеих сторонах неравенства, то направление неравенства изменится. Например, если $a < b$, то $-a > -b$.

5. Свойство композиции: Если $a < b$ и $b < c$, то можно сделать вывод, что $a < c$.

6. Свойство транзитивности: Если из $a < b$ и $b < c$ следует, что $a < c$.

7. Свойство абсолютных значений: $|x| < a$ эквивалентно $-a < x < a$.

8. Свойство квадратов: Если $x^2 < y^2$, то не обязательно $x < y$, но можно сделать вывод, что $|x| < |y|$.

9. Свойство замены: Если неравенство $P(x)$ истинно для всех $x$ из определенного интервала, то оно остается истинным, если вместо $x$ подставить выражение, удовлетворяющее этому интервалу.

Эти свойства могут быть использованы для решения и доказательства неравенств и систем неравенств, путем логических преобразований, которые сохраняют истинность высказываний.