Question

Решите уравнение: sin2 x + 5sin x cos x + 2cos2x = – 1.

Answer 1

Нужно знать:

1) основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1;

2) данное уравнение после несложных преобразований будет однородным. Оно решается делением на cos²x ≠ 0 или на sin²х ≠ 0 (т.к. он  одновременно нулю равняться не могут).

Поэтому:

sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -1,

sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x = -(sin²x + cos²x),

sin²x + 5sinxcosx + 2cos²x + (sin²x + cos²x) = 0,

2sin²x + 5sinxcosx + 3cos²x = 0, | : cos²x ≠ 0

2tg²x + 5tgx + 3 = 0,

обозначим tgx = t и получим уравнение:

2t² + 5t + 3 = 0,

D = 5² - 4 · 2 · 3 = 25 - 24 = 1; √1 = 1;

t₁ = (-5 - 1)/(2 · 2) = -6/4 = -1,5,

t₂ = (-5 + 1)/(2 · 2) = -4/4 = - 1.

Теперь найдем корни исходного уравнения:

1) tgx = - 1,5

   x = -arctg(1,5) + πk, k ∈ Z;

2) tgx = -1

    x = -π/4 + πn, n ∈ Z.

Ответ: -arctg(1,5) + πk, k ∈ Z; -π/4 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

Уравнение: sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = -1

Заметим, что это уравнение содержит смешанные члены синусов и косинусов. Для упрощения, давайте попробуем преобразовать его, используя тригонометрические тождества.

Заменим квадрат синуса и косинуса через тождество: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это в уравнение: 1 - cos^2(x) + 5sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = -1

Теперь объединим члены с косинусами: 3cos^2(x) + 5sin(x)cos(x) = -2

Попробуем далее выразить один из косинусов через другой. Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), так что давайте попробуем выразить 5sin(x)cos(x) через sin(2x):

3cos^2(x) + 2sin(2x) = -2

С помощью тригонометрических идентичностей для косинуса возводим в квадрат и заменяем sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

3(1 - sin^2(x)) + 2sin(2x) = -2 3 - 3sin^2(x) + 2sin(2x) = -2

Переносим все члены на одну сторону: 3sin^2(x) + 2sin(2x) - 5 = 0

Снова используем тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

3sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) - 5 = 0

Теперь у нас есть квадрат синуса и произведение синуса и косинуса. Мы можем попробовать выразить одну из них через другую.

Заменим синус через косинус с помощью тождества sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

3(1 - cos^2(x)) + 4cos(x) - 5 = 0 3 - 3cos^2(x) + 4cos(x) - 5 = 0

Упростим: -3cos^2(x) + 4cos(x) - 2 = 0

Теперь у нас есть квадрат косинуса. Давайте решим это квадратное уравнение относительно cos(x):

3cos^2(x) - 4cos(x) + 2 = 0

Чтобы решить это уравнение, можно использовать квадратную формулу или графический метод. В данном случае, дискриминант отрицателен, что означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = -1 не имеет действительных решений.