Question

Найдите область значений функции y=|x–7|–|x+5|.

Answer 1

a)x-7≥0; x≥7

y=x-7-(x+5)=x-7-x-5=-12

б)x-7<0;x+5≥0; -5≤x<7

y=7-x-(x+5)=7-x-x-5=2-2x

в)x+5<0; x<-5

y=7-x+(x+5)=12

ответ y=[-12;12]

Answer 2

Для того чтобы найти область значений функции $y = |x - 7| - |x + 5|$, давайте рассмотрим различные случаи значений $x$ и посмотрим, как это влияет на значение функции $y$.

1. Если $x \geq 7$, то $|x - 7| = x - 7$ и $|x + 5| = x + 5$. В этом случае функция будет иметь вид $y = (x - 7) - (x + 5) = -12$. Обратите внимание, что значение $y$ постоянное и равно -12 для всех $x \geq 7$.

2. Если $-5 \leq x < 7$, то $|x - 7| = 7 - x$ (так как $x - 7$ будет отрицательным) и $|x + 5| = x + 5$. В этом случае функция будет иметь вид $y = (7 - x) - (x + 5) = 2 - 2x$. Здесь $y$ будет уменьшаться по мере увеличения $x$, и максимальное значение $y$ в этом интервале будет $2$, когда $x = -5$.

3. Если $x < -5$, то и $|x - 7|$ и $|x + 5|$ становятся отрицательными числами, и мы можем записать их как $-(x - 7)$ и $-(x + 5)$. Таким образом, функция будет иметь вид $y = -(x - 7) - -(x + 5) = 2x - 2$. Здесь $y$ будет увеличиваться по мере уменьшения $x$, и функция не ограничена сверху.

Итак, область значений функции $y = |x - 7| - |x + 5|$ состоит из всех значений от $-\infty$ до -12 включительно, и значения от 2 до $+\infty$, но не включая 2. Математически:

$-\infty < y \leq -12$ и $y > 2$.

Пожалуйста, обратитесь к официальному определению области значений для более точной информации о значениях функции.