Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х^2 , х = 1, х = 3, у = 0; б) y=x^2-2x+2; y=0 в) y=2x^2, y=2x

Answer 1

Ответ: $\frac{36}{3} ;$∞$; \frac{1}{3}$

Объяснение:

a)

В этом задании требуется найти определенный интеграл на отрезке x ∈ (1,3). Находим первообразную:

$F(x) = \int {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} + C$

Подставляем в нее границы интегрирования, чтобы найти определенный интеграл:

$\int\limits^3_1 {x^2} \, dx = F(3) - F(1) = \frac{26}{3}$

б)

Тоже самое что и в задании а). Находим первообразную функции:

$F(x) = \int {x^2-2x+2} \, dx = \int {x^2} \, dx + \int {-2x} \, dx + \int {2} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x + C$

Подставляем в первообразную границы интегрирования. Они определяются через пресечение параболой оси OY:

$x^2-2x+2 = 0\\x \ is \ not\ rational$

Мы получили, что нет таких точек, которые бы удовлетворяли уравнению, а значит, нет пересечения с OY и площадь ⇒∞.

в)

Находим первообразные для каждой из написанных функций:

$F_{1} (x) = \int {2x^2} \, dx = \frac{2}{3} x^3 + C_{1}\\F_{2}(x) = \int {2x} \, dx = x^2 + C_{2}$

Теперь находим пересечение двух графиков функций. Это и будут границы интегрирования:

$2x^2 = 2x\\x^2-x = 0\\x(x-1) = 0\\x = 0;1$

Находим площади под каждой из двух функций при помощи определенного интеграла:

$S_{1} = \int\limits^1_0 {2x^2} \, dx = F_{1}(1) - F_{1}(0) = \frac{2}{3} \\S_{2} = \int\limits^1_0 {2x} \, dx = F_{2}(1) - F_{2}(0) = 1$

Теперь, чтобы найти общую площадь фигуры вычитаем из большей площади меньшую:

$S = S_{2} - S_{1} =1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Answer 2

Давайте по очереди вычислим площади для каждой из заданных фигур.

а) Фигура ограничена линиями y = x^2, x = 1, x = 3 и y = 0. Это область между кривой y = x^2 и осями x и y. Для вычисления площади этой фигуры нужно найти площадь под кривой y = x^2 на отрезке [1, 3]:

Площадь = ∫[1, 3] (x^2) dx = [x^3 / 3] от 1 до 3 = (3^3 / 3) - (1^3 / 3) = 9 - 1 = 8.

Итак, площадь фигуры а) равна 8.

б) Фигура ограничена линиями y = x^2 - 2x + 2 и y = 0. Это область между кривой y = x^2 - 2x + 2 и осью x. Для вычисления площади этой фигуры нужно найти площадь между кривой и осью x на интервале, где y > 0:

Площадь = ∫[a, b] (x^2 - 2x + 2) dx,

где a и b - это корни уравнения x^2 - 2x + 2 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, поэтому у него нет вещественных корней, и площадь равна 0.

Итак, площадь фигуры б) равна 0.

в) Фигура ограничена линиями y = 2x^2 и y = 2x. Это область между кривыми y = 2x^2 и y = 2x. Для вычисления площади этой фигуры нужно найти точки их пересечения:

2x^2 = 2x, x^2 = x, x^2 - x = 0, x(x - 1) = 0.

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Площадь = ∫[0, 1] (2x - 2x^2) dx = [x^2 - (2x^3 / 3)] от 0 до 1 = (1 - 2/3) - (0 - 0) = 1/3.

Итак, площадь фигуры в) равна 1/3.

Итак, ответы: а) Площадь фигуры а) равна 8. б) Площадь фигуры б) равна 0. в) Площадь фигуры в) равна 1/3.