Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2, y=1/x, x=3, y=0.

Answer 1

Ответ:

ln(3) + 1/3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно найти точки их пересечения и определить границы интегрирования.

1. Найдем точки пересечения кривых y = x^2 и y = 1/x: Приравняем уравнения: x^2 = 1/x Умножим обе стороны на x: x^3 = 1 Возведем обе стороны в степень 1/3: x = 1 Таким образом, точка пересечения находится в (1, 1).

2. Теперь определим точки, где прямая x = 3 пересекает кривую y = x^2: Подставим x = 3 в уравнение кривой: y = 3^2 = 9 Таким образом, точка пересечения находится в (3, 9).

3. Также нам интересует точка пересечения между кривой y = 1/x и осью x (y = 0): Уравнение y = 1/x не имеет решений при x = 0, так как деление на ноль невозможно. Таким образом, эта кривая пересекает ось x в точке, которая лежит за пределами рассматриваемого интервала.

Теперь у нас есть три точки: A(1, 1), B(3, 9) и C(3, 0). Заметим, что точки B и C имеют общую x-координату 3, но нас интересует только верхняя кривая в этой области.

Теперь мы можем интегрировать площадь под кривой y = x^2 на интервале [1, 3] по формуле:

$S = \int_{1}^{3} x^2 dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \frac{x^3}{3} \bigg|_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2, y = 1/x, x = 3 и y = 0, равна $\frac{26}{3}$ единицам площади.