Question

Помогите решить задачи,пожалуйста: 1))Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями х^2 = y+2 и у= -х 2)Вычислить объём тела,образованного вращением вокруг оси Оу фигуры,ограниченной линиями y^2=4x и 4у=х^2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1).

$x^2=y+2\ \ \ \ y=-x\ \ \ \ S=?\\y=2-x^2\ \ \ \ \Rightarrow\\2-x^2=-x\\x^2-x-2=0\\D=9\ \ \ \ \sqrt{D}=3\\x_1=-1\ \ \ \ x_2=2.\ \ \ \ \Rightarrow\\ S=\int\limits^2_{-1} {(2-x^2-(-x))} \, dx=\int\limits^2_{-1} {(2-x^2+x)} \, dx =(2x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} )\ |_{-1}^2=\\=2*2-\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2}-(2*(-1)-\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2})=4-\frac{8}{3} +2-(-2+\frac{1}{3} +\frac{1}{2})=\\=6-2\frac{2}{3} +2-\frac{1}{3} -\frac{1}{2} = 8-3 -\frac{1}{2}=5- 0,5=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв. ед.

2).

$y^2=4x\ \ \ \ \ 4y=x^2\ \ \ \ V=?\\x=\sqrt{4y} =2\sqrt{y} \ \ \ \ x=\frac{y^2}{4}\ \ \ \ \Rightarrow\\2\sqrt{y}=\frac{y^2}{4} \ |*4\\8\sqrt{y} =y^2\\y^2-8\sqrt{y} =0\\\sqrt{y} *(y^{\frac{3}{2}} -8)=0\\\sqrt{y} =0\\y_1=0\\y^{\frac{3}{2} }-8=0\\y^{\frac{3}{2} }=2^3\\y^{\frac{3}{2} }=4^{\frac{3}{2}} \\y_2 =4.\ \ \ \ \Rightarrow\\V=\pi *\int\limits^4_0 {(2\sqrt{y}-\frac{y^2}{4} )} \, dy =\pi *(\frac{4x^{\frac{3}{2}} }{3} -\frac{y^3}{12} )\ |_0^4=\pi *(\frac{4*4^{\frac{3}{2}} }{3}-\frac{4^3}{12}})=$

$=\pi *(\frac{4*8}{3}-\frac{64}{12}) =\pi *(\frac{32}{3}-\frac{16}{3} )=\pi *\frac{16}{3} \approx16,76.$

Ответ: V≈16,76 куб. ед.

Answer 2

Конечно, помогу вам с этими задачами!

1. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $x^2 = y + 2$ и $y = -x$, вам нужно найти точки их пересечения и затем выразить y через x. После этого можно использовать интеграл для вычисления площади. Давайте начнем с нахождения точек пересечения:

Уравнения для пересечения: $x^2 = y + 2$ $y = -x$

Подставим $y = -x$ в первое уравнение: $x^2 = -x + 2$

Теперь решим это уравнение и найдем значения x. После этого можно будет выразить y через x и использовать интеграл для нахождения площади.

2. Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями $y^2 = 4x$ и $4y = x^2$, нужно воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Выражение для объема можно записать в виде интеграла. Сначала найдем точки пересечения этих кривых.

Уравнения для пересечения: $y^2 = 4x$ $4y = x^2$

Подставим $y^2 = 4x$ во второе уравнение: $4y = (2\sqrt{x})^2$

Решим это уравнение и найдем значения x. После этого можно будет записать выражение для объема в виде интеграла и вычислить его.