Question

На доске написали число 2020! = 1 · 2 · 3 · . . . · 2019 · 2020, затем сложили в этом числе все цифры. Получили новое число, у которого опять сложили все цифры и т.д. В конце получили однозначное число. Какое?

Answer 1

Сумма цифр числа дает один и тот же остаток при делении на 9, что и само число.

И правда: пусть число имеет вид $A=\overline{a_na_{n-1}...a_0}$. Тогда $A=a_n*10^n+a_{n-1}*10^{n-1}+...+a_1*10+a_0=a_n*(9+1)^n+a_{n-1}*(9+1)^{n-1}+...+a_1*(9+1)+a_0\equiv a_n*1^n+a_{n-1}*1^{n-1}+...+a_1*1+a_0\:(mod\:9)=a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0$

То есть число $A$ сравнимо по модулю 9 с суммой своих цифр. А это и означает, что остатки от деления на 9 числа и суммы его цифр совпадают.

Ч.т.д.

Тогда, применяя к числу 2020! приведенную в условии операцию, мы будем получать на каждом шаге числа, дающие тот же остаток при делении на 9, что и 2020!. Т.к. 2020>9, то 2020! делится на 9.

Из однозначных чисел на 9 делятся только 0 и 9. Т.к. сумма цифр числа равна 0 только у числа 0, то последним осталось число 9.

Answer 2

Давайте посмотрим на каждый этап:

1. 2020! = 1 × 2 × 3 × ... × 2019 × 2020

2. Сложим все цифры числа 2020!: 2 + 0 + 2 + 0 + 3 + 6 + ... + сумма цифр от 2019 + сумма цифр от 2020 Заметим, что все числа от 1 до 9 дают однозначные суммы цифр (сами себя), а числа от 10 до 18 дают суммы, равные числу - 9. Аналогично, числа от 19 до 27 дают суммы, равные числу - 18. И так далее.

   В результате получим: (202 * 1) + (19 * (2-9)) + (2-9) = 202 + (-63) + (-45) = 94

3. Теперь сложим цифры числа 94: 9 + 4 = 13

4. Сложим цифры числа 13: 1 + 3 = 4

Итак, последнее однозначное число, полученное в этой последовательности операций, равно 4.