Question

1.Найдите производную функции: y = 2x + √ 2x − 1 2.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x 2 и y = 0, предварительно сделав рисунок.3. Решите неравенство: log2 (2x − 1) ≥ log0,5 1 2−x . 4. Решите неравенство: √ 3 tg x − 1 > 0. 5. Решите неравенство: 2 x + 3 · 2 x+1 ≤ 14

Answer 1

Всё детально расписано на фото (кстати, мне кажется, Вы условия для некоторых примеров написали неправильно, поэтому и ответы получаются "кривые". В следующий раз постарайтесь оформить задание лучше, чтобы можно было понять его суть полностью):

Answer 2

1. Найдем производную функции y = 2x + √(2x - 1):

y = 2x + (2x - 1)^(1/2)

Используем правило дифференцирования суммы:

dy/dx = d(2x)/dx + d((2x - 1)^(1/2))/dx

dy/dx = 2 + (1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2

dy/dx = 2 + (2/√(2x - 1))

Таким образом, производная функции y по x равна: dy/dx = 2 + 2/√(2x - 1).

2. Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x^2 и y = 0, нужно найти площадь под графиком y = 1 - x^2 на интервале, где y положительно (между корнями уравнения 1 - x^2 = 0). Это будет площадь между кривой и осью x.

Площадь можно найти интегрированием:

S = ∫[a, b] (1 - x^2) dx,

где a и b - корни уравнения 1 - x^2 = 0 (то есть -1 и 1).

S = ∫[-1, 1] (1 - x^2) dx = [x - (x^3)/3] |_(-1)^(1) = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) = 2/3.

Таким образом, площадь фигуры равна 2/3.

3. Решим неравенство log₂(2x - 1) ≥ log₀.₅(1/(2^x)):

Применим свойство логарифма: logₐ(b) ≥ logₐ(c) тогда и только тогда, когда b ≥ c.

2x - 1 ≥ 1/(2^x)

Умножим обе стороны на 2^x (предполагая, что 2^x > 0):

(2x - 1) * 2^x ≥ 1

2^(x + 1) * x - 2^x ≥ 1

x * 2^(x + 1) - 2^x ≥ 1

x * 2^x - 2^x ≥ 1

x * 2^x ≥ 2^x + 1

x ≥ 1 + 2^(-x)

Это неравенство не имеет точного аналитического решения, но оно может быть решено графически или численными методами.

4. Решим неравенство √(3 * tg(x)) - 1 > 0:

Добавим 1 к обеим сторонам:

√(3 * tg(x)) > 1

Возводим обе стороны в квадрат:

3 * tg(x) > 1

tg(x) > 1/3

x > arctan(1/3)

Это дает ограничение на x, но угол ограничен диапазоном (-π/2, π/2), поэтому решение неравенства -π/2 < x < arctan(1/3).

5. Решим неравенство 2^x + 3 * 2^(x+1) ≤ 14:

Сначала объединим члены слева:

2^x + 6 * 2^x ≤ 14

7 * 2^x ≤ 14

2^x ≤ 2

x ≤ 1

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, 1].