Question

Даю 40 баллов ОЧЕНЬ СРОЧНООО!!!!Решите неравенство методом интервалов:(x-2)(x-1)/x-3больше или равно0(письменно)​​​

Answer 1

Ответ:

x ∈ (1; 2)∪(3; +∞)

Объяснение:

$\frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \geq 0$    ⇔ $(x-2 )(x-1) (x-3) \geq 0$

смотрим рисунок

x ∈ (1; 2)∪(3; +∞)

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство поэтапно и найдем его решение методом интервалов.

Исходное неравенство:

$\frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \geq 0$.

1. Находим критические точки и интервалы разрыва: Критические точки — это значения $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

   • Числитель $(x-2)(x-1)$ обращается в ноль при $x = 2$ и $x = 1$.
   • Знаменатель $x-3$ обращается в ноль при $x = 3$.

   Таким образом, у нас есть 3 критические точки: $x = 1, x = 2$ и $x = 3$. Они разбивают числовую ось на 4 интервала: $(-\infty, 1), (1, 2), (2, 3), (3, \infty)$.

2. Выбираем тестовую точку из каждого интервала:

   • В интервале $(-\infty, 1)$ можно выбрать $x = 0$.
   • В интервале $(1, 2)$ можно выбрать $x = 1.5$.
   • В интервале $(2, 3)$ можно выбрать $x = 2.5$.
   • В интервале $(3, \infty)$ можно выбрать $x = 4$.

3. Подставляем тестовые точки в исходное неравенство:

   • При $x = 0$: $\frac{(0-2)(0-1)}{0-3} = \frac{2}{3} > 0$.
   • При $x = 1.5$: $\frac{(1.5-2)(1.5-1)}{1.5-3} = -\frac{3}{4} < 0$.
   • При $x = 2.5$: $\frac{(2.5-2)(2.5-1)}{2.5-3} = \frac{3}{4} > 0$.
   • При $x = 4$: $\frac{(4-2)(4-1)}{4-3} = 6 > 0$.

4. Анализируем знаки на интервалах:

   • В интервале $(-\infty, 1)$ неравенство выполняется (знак положителен).
   • В интервале $(1, 2)$ неравенство не выполняется (знак отрицателен).
   • В интервале $(2, 3)$ неравенство выполняется (знак положителен).
   • В интервале $(3, \infty)$ неравенство выполняется (знак положителен).

5. Собираем интервалы, удовлетворяющие неравенству: Интервалы, в которых неравенство выполняется, это $(-\infty, 1)$ и $(2, 3)$.

Таким образом, решением неравенства $\frac{(x-2)(x-1)}{x-3} \geq 0$ являются интервалы $(-\infty, 1)$ и $(2, 3)$.