Question

Якого найбільшого значення може досягати вираз51 − 4y^2 + 4xy − 14x − 2x^2?

Answer 1

Ответ:

100

Объяснение:

Answer 2

Для того щоб знайти найбільше можливе значення виразу, ми можемо застосувати метод повного квадрату для квадратичних членів x та y. Давайте спростимо вираз:

51 − 4y^2 + 4xy − 14x − 2x^2

Розглянемо два квадратичних члени -4y^2 та -2x^2. Щоб застосувати метод повного квадрату, ми маємо додати та відняти квадрати коефіцієнтів цих членів, а потім згрупувати їх:

(4xy − 14x) + (51 − 4y^2 − 2x^2)

Згрупуємо перший два члени, виділивши спільні множники:

2x(2y − 7) + (51 − 4y^2 − 2x^2)

Тепер ми маємо -4y^2 та -2x^2, які ми можемо об'єднати як квадрат суми і різниці. Маємо:

2x(2y − 7) + (51 − (2x^2 + 4y^2))

Ми можемо розкласти - (2x^2 + 4y^2) як:

-(2x^2 + 4y^2) = -2(x^2 + 2y^2)

Тепер підставимо назад у наш вираз:

2x(2y − 7) + (51 − 2(x^2 + 2y^2))

Зверніть увагу, що ми від'ємно помножили коефіцієнт -2 на квадратний вираз. Тепер ми можемо переписати вираз у наступному вигляді:

2x(2y − 7) − 2(x^2 + 2y^2) + 51

Звернімо увагу на те, що перший і останній члени виразу не залежать від x та y, тому максимальне значення виразу досягнеться, коли залишок максимальний. Оскільки ми маємо від'ємний коефіцієнт перед другим доданком, найбільше значення буде досягнуте, коли цей доданок мінімальний.

Для того щоб максимізувати вираз -2(x^2 + 2y^2), ми повинні мінімізувати x^2 + 2y^2. Оскільки квадрати невід'ємні, мінімальне значення буде досягнуте, коли обидва члени, x^2 і 2y^2, дорівнюють нулю. Це станеться, якщо x = 0 та y = 0.

Таким чином, максимальне значення виразу досягається, коли x = 0 та y = 0:

2x(2y − 7) − 2(x^2 + 2y^2) + 51 = 2(0)(2(0) − 7) − 2(0^2 + 2(0)^2) + 51 = -94

Отже, найбільше можливе значення даного виразу дорівнює -94.