Question

Является ли функция F(x) = x3 -12x2 – 8 первообразной для функции f(х) = 3х2 - 24х на R?​

Answer 1

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x)=(x^3-12x^2-8)'=(x^3)'-12(x^2)'-8'=3x^2-12\cdot2x-0=3x^2-24x=f(x).$

Поскольку $F'(x)=f(x)$ и областью определения функции $F(x)$ являются все числа, то $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ на $\mathbb R$.

ОТВЕТ: да.

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли функция F(x) = x^3 - 12x^2 - 8 первообразной (интегралом) для функции f(x) = 3x^2 - 24x на всей числовой прямой R, нужно проверить, выполняется ли условие первообразной:

$F'(x) = f(x).$

Сначала найдем производную функции F(x):

$F'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 12x^2 - 8) = 3x^2 - 24x.$

Теперь сравним найденную производную F'(x) с функцией f(x):

$f(x) = 3x^2 - 24x.$ $F'(x) = 3x^2 - 24x.$

Полученные выражения для производной F'(x) и функции f(x) совпадают. Таким образом, функция F(x) = x^3 - 12x^2 - 8 является первообразной для функции f(x) = 3x^2 - 24x на всей числовой прямой R.